La nature de l’action(18/01/22)

Introduction: le principe de moindre action

Ce principe qui est un pilier de la physique, pour construire des théories fait référence à un concept dont la nature n’est pas très simple à cerner qu’on appelle l’action. C’est un scalaire, dont la dimension est une énergie multipliée par un temps ou une quantité de mouvement multiplié par une longueur (espace). Si on conçoit bien ce qu’est une énergie et un temps,pour le concept du produit des deux on ne voit pas très bien ce que c’est (idem pour une quantité de mouvement multiplié par une longueur).

Utilisation de l’action

On connaît la manière de s’en servir pour déterminer par exemple la trajectoire, dans un champ de forces, d’un corps muni d’une certaine quantité de mouvement au départ, entre 2 points A et B distincts dans l’espace et le temps. Si on intègre l’action le long des trajectoires reliant A et B, celle qui donne le minimum (en mécanique classique) sera la trajectoire physique.

Nature de l’action

L’utilité fondamentale d’un tel concept, cependant ne nous dévoile pas sa nature physique. C’est manifestement une caractéristique d’un « système » mécanique. Le lagrangien qui représente l’action est souvent appelé l’ADN du système considéré.

L’action en relativité

Ce concept est également fondamental, mais ce n’est plus sur une ligne entre 2 points qu’on va calculer une intégrale mais dans l’espace-temps global représentant un « univers ». On utilise alors ce qu’on appelle une « densité de lagrangien » et dans ce cas ce qui est déterminé n’est pas une trajectoire mais toutes les trajectoires, puisque c’est la géométrie de l’espace-temps qui résulte de ce qu’on appelle alors le principe « extremum » car ce n’est pas d’un minimum qu’il s’agit mais plutôt d’un maximum compte tenu de la structure hyperbolique de cet espace-temps. A ce titre l’action, globale sur l’univers peut être mieux comprise. c’est bien une propriété qui caractérise la géométrie de l’univers.

L’action au cœur de la mécanique quantique

La mécanique quantique, va définir un quantum d’action, défini par la constante de Planck h, introduite pour expliquer le rayonnement du corps noir. L’action qui était un concept formel, utilisé pour des calculs, sans caractère physique manifeste, devient, en mécanique quantique, physique, nécessaire et au cœur de la théorie.

De ce fait, c’est dans cette théorie qu’on doit pouvoir le mieux cerner sa nature conceptuelle. Associé au rayonnement dont le paramètre est la fréquence f dont la dimension est l’inverse d’un temps on comprend mieux sa nature par l’équation où E est l’énergie.

E = h.f

L’action du rayonnement, son quantum est le paramètre fondamental.

C’est lui qui va déterminer la fréquence du rayonnement qui va correspondre à l’énergie nécessaire pour faire changer de niveau les électrons dans l’atome jusqu’à les arracher.

Ceci, nous amène à penser que, dans toute la physique, aborder les problèmes par l’action, et en utilisant le rayonnement comme concept fondamental dans la physique même non quantique est sans doute une clé pour aborder autrement la physique.

Dans un autre article on montre comment, en relativité, utiliser un formalisme qui privilégie le rayonnement électromagnétique comme référence, avec la fréquence comme paramètre, au lieu de référentiels minkowskiens, peut clarifier et simplifier la description des phénomènes.

Does gravity always wins thanks to a free lunch ? 11/28/21

 The collapse of a massive star into a black hole shows that while the star must « burn fuel », in this case fuses light chemical elements, which it has in limited quantities, to maintain the hydrostatic balance, where the expansion of the heated gas is compensated by the gravitational contraction, the gravitation, which does not seem to need anything at all, ends up overcoming this equilibrium when the star’s reserves are depleted.

For a massive star (more than 8 solar masses approximately), this occurs in spite, even of the quantum effects which, by the principle of exclusion of Pauli for the electrons then by the neutrons (more intense), can stop it and produce according to the mass of the star, white dwarfs and neutron stars.

That gravity seems to “need nothing”, in this process. As the nature, usually, does not provide “free lunch,”, is this a naive and Newtonian view of the problem?

While the pressure which results of the random motion of the atoms of the “gas” increases as the temperature increases, which is a classic thermodynamic representation, gravitation is represented by a spacetime which does not seem related, conceptually to that.

 Although Einstein’s equation is a local equation, in relativity, the physical variables of gravity are global because they are associated with the global geometry of the universe.

This phenomenon depends on the type of space-time in which it occurs.

The case of the Schwarzschild solution

 In a Schwarzschild-type solution, we know that the spacetime remains the same outside the initial surface of the star, the “gravitational flux” being preserved in a collapse with spherical symmetry, on the other hand it changes inside. of this surface where instead of matter there will be vacuum.

Schwarzschild’s space-time phenomenology

Schwarzschild’s metric suggests that space is static, this implying the problem of a singularity oo the horizon. We know, Paul Painlevé was the first in history (1921) to provide a metric which is not singular on the horizon, this implying to get rid of a static space. This solution and those of many others further show that the space is in eternal collapse as illustrated on the figure below.

Therefore, the gas in the star is not static but outward going in this collapsing spacetime for maintaining its distance to the center of mass.

There is no mystery, it is because of the structure of this spacetime that free matter falls and would need energy for getting the acceleration requested for staying at the same distance of the center of mass. A static Schwarzschild observer is not a geodesic observer but an accelerated observer.

Last remark about white dwarfs and neutron stars where quantic effect (Pauli exclusion principle) looks to work permanently as gravitation does. Does this maintain an eternal the equilibrium ?

It would be interesting to understand this phenomenon.

What about quadrupolar gravitational waves?

The general rule is that a spherical collapse does not generate gravitational waves and that the lower order is provided by quadrupolar gravitational waves.

C’est toujours la gravitation qui gagne! 28/11/21

L’effondrement d’une étoile massive en trou noir montre qu’alors que l’étoile doit ” consommer du carburant”, en l’occurrence fusionner des éléments chimiques légers, dont elle dispose en quantité limitée, pour maintenir l’équilibre hydrostatique, où l’expansion du gaz chauffé est compensée par la contraction gravitationnelle, la gravitation, qui ne semble consommer rien du tout, finit par venir à bout de cet équilibre lorsque les réserves de l’étoile s’amenuisent.

Et ceci, si elle est très massive (plus de 8 masses solaires environ), en dépit, même des effets quantiques qui, par le principe d’exclusion de Pauli pour les électrons puis par les neutrons (plus intense), peuvent la stopper et produire selon la masse de l’étoile, des naines blanches et étoiles à neutrons.

Que la gravitation semble “ne rien consommer”, (on rase gratis) dans ce processus, est-elle une vision naïve et newtonienne du problème ?

Alors que la pression exercée par l’agitation des atomes du “gaz” est d’autant plus grande que la température est élevée, ce qui est une représentation thermodynamique classique, la gravitation est représentée par un espace-temps ce qui ne semble avoir, conceptuellement, aucun rapport.

Bien que l’équation d’Einstein soit une équation locale, en relativité, les variables physiques de la gravitation sont globales car associées à la géométrie globale de cet espace-temps.

Ce phénomène dépend du type d’espace-temps dans lequel il se produit.

Le cas de la solution dite de « Schwarzschild »

Dans une solution de type Schwarzschild, on sait que l’espace-temps reste le même à l’extérieur de la surface initiale de l’étoile, le flux de « gravitation » émis par la masse sphérique centrale étant conservé dans un effondrement à symétrie sphérique.

Par contre il change à l’intérieur de cette surface où à la place de matière on aura du vide.

Phénoménologie de cette solution

La représentation de cet espace-temps par la métrique de Schwarzschild laisse à penser que l’espace est « statique », d’où le problème de la singularité sur l’horizon. Les représentations plus modernes montrent qu’il n’en est rien. Paul Painlevé a été le premier à proposer une solution non singulière sur l’horizon en 1921 qui montre un espace en effondrement « éternel », comme illustré sur l’image ci-dessous.

L’image habituelle de l’étoile statique en équilibre avec la gravitation est donc trompeuse car, en fait les atomes du gaz de l’étoile sont en mouvement vers l’extérieur pour compenser l’effondrement de l’espace dans lequel ils sont plongés et se maintenir à distance constante du centre de masse!

On comprend alors pourquoi la gravitation semble ne pas dépenser d’énergie, l’espace-temps de cette solution est structurellement en effondrement « éternel » et c’est la matière qui doit consommer de l’énergie pour se maintenir « immobile », comme une fusée qui doit éjecter des gaz dans un champ gravitationnel pour ne pas tomber.

Il n’y a pas de mystère dans ce cas.

Un point intéressant est le cas des naines blanches et étoiles à neutrons, où l’effet quantique qui s’oppose à la gravitation semble lui aussi être « éternel », ce qui mériterait d’être compris et expliqué…

Quid d’ondes gravitationnelles quadrupolaires?

La règle est que pour un effondrement à symétrie sphérique aucune onde gravitationnelle n’est émise.

A suivre…

Création (big Bang) ou dissociation du néant en cosmologie ?

Introduction

Si la création « ex nihilo » de quelque chose chagrine notre esprit car elle viole certains principe de conservation (quelque chose émerge de rien), la notion de dissociation du néant, où le néant accouche de deux entités physiques symétriques (aussi appelées contraires) telles que, pour tous leurs paramètres, leurs valeurs prises en compte pour l’ensemble (la somme) des deux entités scientifiques symétriques sont les mêmes que celles du néant, est plus agréable à notre esprit car elle ne viole pas, du moins macroscopiquement, ces principes de conservation, d’autant qu’on peut les recombiner pour restaurer le néant initial.[1]

Un exemple est la dissociation du vide en une paire particule-antiparticule, en vertu de la relation d’indétermination d’Heisenberg. Cette paire peut ensuite s’annihiler en redonnant l’état de départ du vide (si elle n’a pas interagi avec d’autres).

Un exemple plus proche de la cosmologie est donné par la solution de Schwarzschild [2], en relativité, pour un espace à symétrie sphérique. Pour un corps central satisfaisant à certaines conditions[3], un horizon se forme déterminant 2 régions de phénoménologies différentes. La région extérieure est celle générée par exemple par le Soleil, à l’extérieur, que nous connaissons, dans notre système solaire, la partie intérieure est un espace-temps en effondrement où aucun corps ne peut être statique. Bien que dès 1921, la solution de Painlevé [4] le montrait implicitement, il a fallu attendre une solution comme celle de Kruskal[5], en 1960, qui montrait, en plus, une connexion de type espace entre les régions symétriques intérieures à « l’horizon », pour en prendre vraiment conscience et pour réaliser que ces deux régions avaient leurs symétriques où la phénoménologie est inversée (espace-temps en expansion au lieu qu’en contraction). Si on considère les 4 régions, globalement, les paramètres, par exemple l’énergie de la masse centrale, calculée en relativité générale est nulle. Conventionnellement, elle vaut + M pour la partie en contraction (2 régions) et – M pour la partie symétrique en expansion (2 régions).

On peut s’étonner de la possibilité d’une masse gravitationnelle active négative, mais celle-ci résulte de l’intégrale d’un flux du vecteur associé à l’énergie en relativité générale, dont le signe dépend de l’orientation.

Reste un point important qui est celui de la réalité physique de cette solution mathématique symétrique. De nombreuses restrictions existent [6], et cela ne semble possible, et encore de manière très spéculative, que dans l’univers primordial. Mais les équations le permettent et nous vu qu’assez souvent les équations finissaient par avoir raison !

Ce type de paradigme est-il applicable à la cosmologie ?

Une symétrie ( entre temps et espace qui échangent leur rôle dans la phénoménologie) entre la solution de Schwarzschild et celle de Friedmann-Lemaître pour la cosmologie est assez évidente puisque, si le modèle standard cosmologique (Big Bang) présente un univers en expansion, les équations symétriques montrent que mathématiquement, un univers symétrique (en contraction) existe.

 La singularité « initiale » de la solution en expansion (le Big bang) est une singularité de type espace (l’espace « disparaît »), à la différence de celle de Schwarzschild qui est de type temps. Dans le Big Bang, les géodésiques de type espace sont incomplètes mais pas celles de type temps.

Donc, si une solution au problème cosmologique donne des espace-temps symétriques, ils peuvent être connectés par une ligne de type temps (dans un espace de taille nulle).

Dès 1932, G. Lemaître, dans son analyse magistrale avait présenté le modèle cosmologique et la solution de Schwarzschild, (dont il expliquait le caractère fictif de la singularité sur l’horizon), comme deux cas particuliers d’un même modèle. Il montrait dans son article « L’univers en expansion »que des solutions mathématiques symétriques, étaient également valables pour le problème cosmologique [7].

Pour montrer comment Lemaître aborde le problème nous donnons, ci-dessous, l’extrait de son article « L’univers en expansion » de 1932, adapté et commenté, où il établit l’équation géodésique cosmologique avec constante cosmologique (les références des équations sont celles du document dont cette partie est extraite).

L’équation géodésique cosmologique de Lemaître traduit la dynamique de l’espace

En posant[8]                                               

L’équation géodésique s’écrit :                                                   

Lemaître propose la solution[9] :

qui est l’équation (14-10)[10] .

Comme la figure 14-1 ci-dessous le visualise, cette équation décrit une région en expansion et une région en contraction.

Accessoirement, notons au passage que pour sa version cosmologique correspondant à un espace vide (la solution dite de Schwarzschild), Lemaître avait, comme Painlevé en 1921, trouvé une solution qui définissait par un jeu de 2 équations, les 4 régions du « trou noir statique à symétrie sphérique » [11], environ 30 ans avant Kruskal, mais ceci n’a pas retenu son attention, de même que, comme il traitait le cas d’un univers en expansion, c’est évidemment « l’anti-univers » qu’il définit, ce que ses équations montrent clairement, sans qu’il fasse le moindre commentaire à ce sujet!

Lemaître réintroduit un caractère d’homogénéité dans sa solution au problème

Dans les hypothèses de base nous avions les coordonnées indépendantes t, χ et une fonction r(t, χ), soit trois possibilités de coordonnées (t, χ, r)  pour deux degrés de liberté, ce qui permet en en éliminant une de décliner plusieurs formes.

Rappelons que l’équation (14-9) n’implique que la dérivée partielle de r par rapport à t et que la masse centrale, m ne dépend pas de χ.

La coordonnée χ réapparaît cependant dans (14-10) mais, non pas comme une coordonnée indépendante de t puisque c’est (t – χ) qui intervient dans les équations et dans la métrique mais comme une constante d’intégration, associée à un observateur de Lemaître-Painlevé, co-mobile de la dynamique de l’espace, fixée par des conditions initiales pour t = 0 [12].

Elle permet d’étiqueter, sur la géodésique radiale, les différents observateurs de Lemaître.

Rappelons que, comme dans la solution de Friedmann, l’espace est homogène, pour décrire la phénoménologie il n’est pas nécessaire de repérer l’observateur.

L’origine (arbitraire) des coordonnées dans cette forme c’est là où l’observateur se trouve puisque tous sont équivalents.

Pour le problème du corps unique sphérique, c’est la situation duale : l’isotropie n’est valide que par rapport à un point particulier qu’on choisira comme origine et l’espace n’étant pas homogène les phénoménologies sont différentes pour des observateurs co-mobiles de l’espace en ses différents points à un instant donné. On peut étiqueter ces points par la coordonnée χ, qui,non contrainte par l’équivalence de masse avec la solution de Friedmann, est libre.

Ces observateurs co-mobiles définissent une classe dont chaque élément décrit toute la phénoménologie de cet espace-temps au cours du temps.

 Le choix de l’observateur de cette classe est libre (arbitraire) comme dans la solution de Friedmann et du coup Lemaître réintroduit par son analyse une forme d’homogénéité qui se manifeste dans l’équation non pas par rapport à une coordonnée unique mais par rapport à la différence entre deux coordonnées.

Cette homogénéité, est invariante par translation simultanée de χ et t si (ct – χ) = constante.

Ceci correspond en fait à une translation spatio-temporelle à r = constante, mais il est significatif que cette forme représente sous forme d’homogénéité spatio-temporelle une symétrie sphérique spatiale.

Dans l’équation (14-10), la coordonnée spatiale χ de la forme de Lemaître, est un paramètre affin donnant la valeur origine du paramètre affin t. En différenciant (14-10) on voit qu’ils sont liés par la relation que nous utiliserons plus loin :

Cette relation sur t, χ , r(t, χ) contraint les degrés de liberté de la solution géodésique.

Étudions la variation de r(t- χ) lorsque t augmente.

Prenons, par exemple, la courbe correspondant à l’équation (14-10) pour λ = 4/3  ( bleu clair).

Lorsque t varie de -∞ à t = χ, on voit que r (t-χ) diminue jusqu’à atteindre la valeur 0.

Ceci correspond à une contraction de l’univers au sens cosmologique.

Pour, t > χ l’univers est en expansion, l’observateur de Lemaître est expulsé.

Comme r = 0 est une singularité de type espace, on ne peut pas passer continûment de la région spatiale tri-dimensionnelle de contraction à la région spatiale tri-dimensionnelle d’expansion : ce sont donc des régions spatiales infinies disjointes. Mais comme t n’est pas singulier, ces régions sont connectées par le temps (de dimension 1), même si la taille de l’espace est nulle.

Nous voyons que les équations de Lemaître décrivent bien la solution analytique complète et que, déjà Lemaître avait prédit, la symétrie univers-anti-univers et la connexion temporelle entre les 2 espaces.

Des problèmes demeurent

Si cette dissociation, qui permet aussi d’envisager une solution pour des dissymétries de l’univers en supposant le pendant de ces dissymétries dans l’anti-univers, est plus agréable à notre esprit qu’une création, par contre il reste à expliquer d’où proviennent les 4 interactions de notre univers qui jouent un rôle d’ADN pour régir son destin.

 Soit on invoque des propriétés aléatoires du néant et on invoque l’argument anthropique pour justifier ces propriétés par le fait que ce sont elles qui ont permis notre existence, soit le néant est lui-même structuré par ces 4 interactions, et alors il n’est pas dépourvu de tout, ce qui reporte le problème sur un autre ! 

En fait il semble que la seule solution qui élude ce report du problème à l’infini, est une boucle spatio-temporelle car elle est fermée. Mais cela, également n’est pas sans poser de problème !


[1] Cette notion est très répandue dans les diverses sociétés, ainsi le bien et le mal, Dieu et le Diable, le ying et le yang, etc.  Souvent, on sous-entend que l’un n’existerait pas sans son contraire. Que serait le bien sans le mal ?

[2] Cette solution est en fait due à Droste, qui a généralisé (à 2 régions, la solution qu’avait proposé Schwarzschild auparavant en (1916) qui ne décrivait qu’une région. On a gardé le nom du premier auteur.

[3]  La masse M du corps central à symétrie sphérique doit être contenue dans un corps de rayon r < 2GM/c².

[4] Painlevé, 1921, Compte rendu de l’académie des sciences du 24/10/1921.

[5] [Kruskal 1960] (en) M. D. Kruskal, « Maximal extension of Schwarzschild metric , Phys. Rev., vol. 119, no 5,‎ sept. 1960, p. 1743-1745). Ces coordonnées montrent que les régions sont connectées par un pont de type espace, ce qui est possible car la singularité qui « sépare » les régions connexes est de type temps. La géodésique radiale, de type temps, entrante (chute libre sans vitesse non radiale) est incomplète : Elle n’est pas définie en r = 0. L’espace n’est pas singulier pour r = 0.

[6] La formation d’un trou noir par effondrement gravitationnel d’une supernova, ne permet pas l’existence d’un univers symétrique, les conditions initiales étant dissymétriques.

[7] Lemaître G. 1932, « L’univers en expansion » Publication du laboratoire de Géodésie, Université de Louvain. Repris in extenso en 1933 dans d’autres publications. La solution de Schwarzschild est considérée comme un modèle cosmologique d’un espace vide. ». Il utilise d’autres coordonnées dans son analyse donnée dans l’univers en expansion.

[8]Le paramètre λ est la constante cosmologique, le rayon de courbure R vaut (3/λ.)1/2, donc λr² = r²/R².

[9]L’équation (14-9), donnée au chapitre 11 de son article, correspondant au cas simple où la courbure spatiale est nulle et d’un univers vide, donné à titre d’exemple, a pour solutions r = ± 2r0Sh2/3 [3A(t -χ t)/2]. Lemaître ne considère pas le cas où r < 0, d’ailleurs ceci n’ajouterait rien à la phénoménologie. Notons que la fonction est paire: r(t –χ) = r (χ-t), ce qui justifie les 2 régions, t pouvant varier de moins l’infini à plus l’infini.

[10]Compte tenu que r(t –χ) = r (χ-t), on peut tout aussi bien écrire: r = 2r0Sh2/3 [3A(χ – t)/2]  (11.4bis).

[11]Ce que Synge, en mathématicien, avait remarqué, sans y prêter plus attention ! Synge JL. (1950).

[12] La coordonnée radiale χ qui caractérisait le volume contenant la masse m, dans la solution de Friedmann, ne sert plus puisque cette masse ne dépend plus du volume, mais va servir d’étiquette temporelle aux observateurs en chute libre radiale en repérant par exemple la date de passage relative t0 par un point remarquable de la géodésique (la singularité s’impose puisque cette géodésique est incomplète). En posant χ = t0 (choix unité) on remplace t – t0 par t – χ. L’équation géodésique est fonction de |t-χ|. Elle est invariante par translation à 45° (r = constante) dans le plan t, χ. Lemaître n’a pas explicité les implications de cet affaiblissement de degrés de liberté.

[13]En utilisant le logiciel Maxima. Remarquons la discontinuité de la dérivée de r( t -χ) pour t =χ, (r = 0).

L’équation d’Einstein et la force de Planck

L’équation d’Einstein

Après avoir fondé et établi les équations de la mécanique et de l’électromagnétisme pour la relativité restreinte en 1905, dès 1907, Einstein va tenter de les adapter au cas de la gravitation. Il commencera par tenter une approche s’appuyant sur le principe d’équivalence, au motif que cela lui paraissait « plus simple ». Ses tentatives de définir un potentiel scalaire adapté au cas de la gravitation « relativiste » aboutissaient à des violations des principes de la physique et ses corrections et adaptations pour corriger ce problème menaient à d’autres impasses.

Il faudra attendre 1913 (Entwurf) pour qu’Einstein (plutôt bien inspiré), aidé par son ami Grossman pour la partie purement mathématique, envisage une nouvelle approche utilisant les géométries non-euclidiennes. Il faudra encore plus de 2 ans pour qu’il surmonte des difficultés, (argument du « trou », cohérence avec la mécanique newtonienne en champ faible et lentement variable, prise de conscience que les coordonnées n’ont pas de caractère physique), pour qu’il parvienne laborieusement à la solution correcte ?

Pour une description très documenté de sa démarche, voir  [1].

Quelle est la signification de l’équation d’Einstein ?

Cette équation qui s’écrit :

Gµν  = κTµν

Où  Gµν  =  Rµν  – ½ R gµν  est le tenseur d’Einstein, 

 Rµν est tenseur de Ricci qui est la contraction du tenseur de Riemann, R le scalaire de Ricci qui est la contraction de tenseur de Ricci, Le terme gµν est le tenseur métrique. Tµν est le tenseur énergie-impulsion qui caractérise la présence d’éléments physiques (matière, rayonnement, etc.), par leur impulsion-énergie.

 La lettre κ représente une constante dimensionnée pour assurer l’homogénéité de l’équation.

En effet, le membre de gauche de l’équation représente un objet géométrique (mathématique), purement formel, alors que celui de droite représente un objet physique, la matière, le rayonnement par exemple, avec son énergie et l’impulsion, en général appelée génériquement matière-énergie.

Ce terme « de couplage » va donc nous révéler comment le concret (la matière-énergie) agit sur l’abstrait (la géométrie) et vice-versa. Au-delà d’assurer la pure homogénéité de l’équation, ce qui est une exigence mathématique, la nature de κ va nous révéler la nature physique de cette constante de couplage.

Equation d’Einstein et équations de la gravitation newtonienne

La relativité générale est une théorie de la gravitation qui, au niveau conceptuel, est une évolution transcendante de la mécanique classique, comme Bachelard l’a souligné. [2]

Malgré les apparences elle est conceptuellement beaucoup plus simple, car plus synthétique que la mécanique newtonienne pour la gravitation.

Là, où la mécanique newtonienne nécessite un espace tridimensionnel de fond (euclidien) et un temps absolu, un concept de force (à distance assez mystérieux) qui dérive d’un potentiel gravitationnel, un jeu de 2 équations (une pour la conservation de l’énergie et l’autre du moment angulaire), pour définir les trajectoires (les géodésiques) des objets soumis à la gravitation, lesquelles géodésiques ne sont pas, en général,  les géodésiques de l’espace euclidien (où les géodésiques sont des droites), la  relativité générale résout tout cela  synthétiquement, en une seule équation, en utilisant le concept d’espace-temps, au lieu de celui d’espace et de temps indépendants.

En mécanique newtonienne, une masse M en un point P se couple par sa masse gravitationnelle passive[3] avec le potentiel défini par l’ensemble des autres masses gravitationnelle actives. Ce potentiel est la somme des potentiels générés par ces autres masses gravitationnelles actives en ce point. Curieusement le potentiel créé par la propre masse (active) M n’intervient pas dans ce processus.

En relativité générale, toutes les masses contribuent à définir la géométrie de l’espace-temps et en retour, toutes les masses se couplent à cet espace-temps qu’elles ont toutes contribué à définir, en suivant les géodésiques de l’espace-temps de cette géométrie.

En fait, la finalité de cette équation d’Einstein, en définissant la géométrie de l’espace-temps, est de définir toutes les géodésiques de cette géométrie. Ainsi, elle définit la dynamique, ce qui est bien la finalité de telles équations, quelle que soit la théorie utilisée. L’anomalie de la mécanique newtonienne précédemment décrite n’existe donc pas en relativité générale, toutes les masses sont prises en compte pour la phénoménologie.

La force de Planck, une constante de la physique ?

Nous avons décrit comment cette force pouvait être définie et où elle intervenait dans un autre article [4]

La valeur de κ est 8πG/c4.

Avec cette valeur l’équation d’Einstein s’écrit :

(c4/4G) Gµν  = 2π Tµν

En rappelant que la définition de la force de Planck FP est :

FP = c4/G

L’équation d’Einstein s’écrit :

FP/4Gµν = 2π Tµν

Au-delà, d’assurer l’homogénéité de l‘équation, ce qui ne porte que sur des attributs dimensionnels, sans valeurs quantitatives, le point conceptuel fondamental est que c’est cette force de Planck, avec sa valeur quantitative, est le médiateur entre la géométrie et la matière, ceci en fait une constante de la physique, dont il convient d’approfondir la portée.

En particulier cette constante dont la dimension est une force nous renseigne sur la nature physique, avec sa matière-impulsion-énergie de l’espace-temps puisque s’appliquant sur un objet géométrique formel, c’est elle qui confère à l’espace-temps physique ses attributs physiques.

Sa présence, qui pouvait paraître inopinée, dans de nombreuses équations de la relativité générale, s’explique alors. C’est à la lumière de cette constante qu’on peut déduire certaines propriétés physiques de cet espace-temps, comme cela a été fait dans l’article cité dans la note 4 où, elle sert de guide directeur pour proposer une interprétation des solutions de la relativité générale A suivre…


[1] Einstein, œuvres choisies Relativités 2, F. Balibar : https://www.cnrseditions.fr/catalogue/physique-et-astrophysique/03-francoise-balibar/

[2] Le nouvel esprit scientifique : https://gastonbachelard.org/le-nouvel-esprit-scientifique/

[3] En gravitation newtonienne, une masse se décline en 3 caractères : masse inertielle, masse gravitationnelle active (qui génère le champ gravitationnel), masse gravitationnelle passive (qui se couple au champ gravitationnel présent au point où se situe la masse). Chaque masse possède les 3 caractères et ces trois masses qui sont proportionnelles sont égales par définition.

[4] Voir : https://vous-avez-dit-bigbang.fr/?page_id=452. Voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_Planck

Quel est l’âge de l’univers?

Quand on dit que l’âge de l’univers est estimé à 13, 7 milliards d’années, cela veut-t-il dire que, nous pourrions voir le big bang à 13,7 milliards d’années de notre passé?

Cela supposerait que nous disposions d’un moyen d’observation très puissant.

Compte tenu de la vitesse de la lumière qui constitue une limite, plus on regarde un événement loin dans l’espace, plus on voit loin dans notre passé, puisque plus la lumière émise par cet événement met plus de temps à nous parvenir, alors, très loin dans l’espace, correspondant à 13, 7 milliards d’année de notre passé, verrions nous le big bang?

Hélas non! Le temps de 13, 7 milliards d’années n’est pas notre temps actuel, celui que nous vivons appelé notre temps propre, en fait pour nous le big bang tel qu’il est décrit dans le modèle standard est rejeté à l’infini de notre passé, nous ne pouvons pas l’observer. Par quel mystère cela est-il possible?

Ce temps de 13, 7 milliards d’années correspond à la coordonnée temps d’une forme particulière des équations qui décrivent la cosmologie relativiste, incluant la métrique de Robertson-Walker qui, entre-autres, définit ce temps, appelé « temps cosmologique ».

Ce temps n’est pas le nôtre, il y est cependant relié par des équations qui précisément donnent un facteur multiplicatif qui diverge vers l’infini lorsqu’on s’approche du big bang.

Cette possibilité d’existence de temps différents est une conséquence de la relativité où il n’existe pas de temps universel. Chacun peut avoir son propre temps, différent de celui de tous les autres. C’est ce qui se produit dans ce cas. Donc, attention, quand on parle de temps, bien vérifier duquel il s’agit.

Is our existence only possible in a universe made up of three spatial dimensions and one of time?

 Arguments

This topic has been studied in a few articles. Usually, these studies extrapolate what we know and show that the laws of physics that support the stability of our world are (presumably) only possible in such a configuration, although they do not completely rule out other possibilities.

 For example, it is pointed out that in Newtonian gravitation, the existence of stable orbits of planets, around a spherical star (of 3-dimensional volume whose surface is a 2-sphere) results from a law of gravitation decreasing in r², which is understandable because the action of gravitation is represented by an isotropic flow emanating from the spherical star of mass M, crossing the 2-spheres of radius r surrounding the star. This surface being equal to 4πr², the flux crossing a constant surface, is “diluted” on the surface of these 2-spheres in 1 / r².

In relativity the relationship is more complex because it is a 4-dimensional global spatio-temporal geometry that is defined, but in a stationary weak field (far from sources generating the “gravitational field”), Newtonian gravitation represents an efficient approximation.

With 4 dimensions of space, by transposing this, we would have a “hyper-star”, hyper-spherical of hyper volume in 4 dimensions, of “hyper-mass” HM, but whose law should, according to the same principle, decrease in 1 / r3 .

This is because the hypersurface of the hypersphere, delimiting the hypersphere, in the “hyperspace-time” with a 5 dimensions signature {-, +, +, +, +}, (if we consider a single temporal component, associated with the four of space), is a 3- sphere.

In a four dimensional “Newton-like mechanics” , this configuration would not produce stable orbits, where the planet would remain long enough at the same distance from the star, star itself stable during this time, as requested for the emergence of life.

 Would it be in this hypersurface of signature {-, +, +, +}, that we, humans, (who are three-dimensional beings in space), would live ?

In general relativity, if it is the case, the related phenomenology in this 4-dimensional sub-manifold of the 5-dimensional manifold (a brane?), would be described by the geometry of this sub-manifold.[1]

Anyway, the argument has its limits, because do we really know what physical representation and which experiences should be conducted for grasping the paramters of such “hyper mass”of an “hyper star” and what kind of field it would generate, especially in classical mechanics. [2] .

In relativity, we must find geodesics in the geometry of the “hyperspace-time”, that comply with the criteria of stability, compatible with our emergence.

It is also argued that the existence of stable atoms, as we know them, would be impossible. This would ruin the possibility of a world as we know it.

But, in a 5-dimensional “hyper-spacetime”, we do not really have any ideas on the representation of the associated phenomenology! See the chapter “Can we avoid an anthropomorphic approach?”.

Comments on these arguments

 The 3 + 1 dimensional configuration (three of space and one of time) results from a Newtonian approach. In relativity, this is not the case. The structure of space-time is not (3 + 1) but 4 and foliating it into (3 + 1) has no physical character (it’s totally arbitrary).

Therefore, as developed in other pages of this site [3], the null coordinate approach (Newmann-Penrose formalism), taking into account the fundamental role of light which gives the hyperbolic structure to our universe, would give a more physical representation than foliation (3 + 1).

Signature of the metric in general relativity

The hyperbolic structure of the metric of the general relativity is inherited from that of the special relativity metric which is (-, +, +, +), the time coordinate being associated with the “minus” sign and the three space coordinates with the “plus” sign, in Minkowski’s representation because, locally, special relativity applies (except on singularities where the theory is not valid).

Comments, on this topic.

In general relativity, a local basis defined by the tangent vectors at the global coordinates defined on the manifold, may present a different signature. For instance, inside the horizon of black holes, the four global coordinates can be simultaneously spacelike.

However, a local Minkowski base, which can be defined at a point, will still have the signature (-, +, +, +). The hyperbolic structure of space-time is well preserved as the Sylvester’s theorem guarantees it. Let us not forget that the coordinates are arbitrary. The signature (-, +, +, +) is valid in the form of Minkowski. In the Newmann-Penrose formalism, since the local basis has 4 null vectors, the signature would rather be written (0, 0, 0, 0).

Case where there are two global coordinates simultaneously timelike.

This case is usually considered as not compatible with the existence of life.

Keeping in mind what was said previously about the local metric which also applies in this strange case, let us point out that in relativity, there are solutions, like the Kerr and Kerr-Newmann space-times [4] , where, although the Minkowskian local signature of the metric remains {-, +, +, +} everywhere, in some regions there may exist simultaneously two global timelike coordinates (in this case t and φ in the spherical coordinates (t , r, θ, φ), generating a metric signature for these coordinates (t, r, θ, φ) of the type {-, +, +, -}.

 If this case is rare, it nevertheless exists, and its impossibility has never been demonstrated. This, pointed out by B. Carter [5], results in a flagrant violation of causality, with all its consequences. There are worldlines between 2 events A and B where A could have been the cause of B and B the cause of A, we can go back in time and many other temporal paradoxes are possible [6].

 However, it should be emphasized that these worldlines are not geodesic, they require an interaction with a phenomenon other than gravitation: for instance, the ejection of matter by a rocket causing an acceleration by reaction.

Thus, according to the definition given of general relativity, we can either consider that these solutions are not to be considered if we consider that only geodesics are described by general relativity [7], or that they are to be considered if one accepts other types of worldlines than the geodesics.

In the latter case, the spacetime of general relativity then serves as a “base” and the local spacetime where non-gravitational phenomena can exist and interact with bodies in spacetime is a “fiber”.

These examples show that the phenomenology described by general relativity is not compatible with the description of a universe with 3 dimensions of space and one of time since, in relativity, time and space are not physical, they are only shadows of spacetime, as stated in Plato’s allegory of the cavern.

Can we avoid an anthropomorphic approach?

This criticism has a more general character, it is certain that we seek to determine if other conditions could give the same phenomena as those which one observes. This implies a great effort to our mind! One is aware of the effort already necessary for understanding the concept of spacetime in relativity which destroyed those of space and time that we supposed inherent to our mind and that of indeterminism in quantum mechanics that ruins the basis of classical physics. Imagining more dimensions would be a step further!

If the weak anthropic argument [8] confirms us on the existence of conditions, (and also specifies limits), allowing to achieve what we observe, which is a truism, it does not say anything about possibilities which would be very different, but which structurally could give something of the same type, in a more or less evolved way.

The universe and its existence, like ours, is a subject where many mysteries will likely remain forever.


[1] In some theories, there are “branes” that have dimensions smaller than that of the space containing them. Here space is taken in the general sense which can contain dimensions of the time type. Let’s not forget the null type dimensions.

[2] If we do not understand very well what a hyper-mass could be in Newtonian mechanics, this does not pose a problem in relativity: The energy-momentum tensor Tμν would be defined for μ, ν varying from 0 to 4. But, let us keep in mind that even though the mathematical formalism is straightforward in relativity, its physical representation and the associated physical tests are problematic.

[3] A detailed description can be found in: http://www.astromontgeron.fr/SR-Penrose.pdf

[4] A rigorous analytical solution was found by Kerr in 1963 to the problem of rotating black holes, well after Schwarzschild’s solution for static black holes which dates from 1916. Note that the problem seemed simple, however, since a rotating black hole is totally defined by 2 parameters: its mass M and its angular momentum J. If the black hole is charged (which is unlikely in cosmology) a third must be added. parameter: the electric charge E. In this case the black hole also has a magnetic moment.

[5] Global Structure of the Kerr family of gravitational fields. Brandon. Carter. Phys. Rev. Vol. 174. Number 5,25 october 1968. A free translation in French is available in: http://www.astromontgeron.fr/A_Carter-68-F.pdf

[6] See a detailed analysis in: http://www.astromontgeron.fr/Trous-noirs-de-Kerr-M2-JF.pdf.

[7] This is the strict definition of the theory of general relativity which deals only with gravity. But, nothing prevents to consider the other hypothesis.

[8] “Argument” is more appropriate than “principle”.

Notre existence n’est-elle possible que dans un univers fait de trois dimensions spatiales et une de temps ?

Arguments en faveur d’une réponse positive 

Ce sujet a été étudié dans quelques articles. Habituellement, ces études extrapolent ce que nous savons et montrent que les lois de la physique qui soutiennent la stabilité de notre monde ne sont (vraisemblablement) possibles que dans une telle configuration, même si elles n’excluent totalement pas d’autres possibilités.

Par exemple, on fait remarquer qu’en gravitation newtonienne, l’existence d’orbites stables de planètes, autour d’une étoile sphérique (de volume à 3 dimensions dont la surface est une 2-sphère) résulte d’une loi de la gravitation décroissant en r², (rayon de l’orbite au carré), ce qui se comprend car l’action de la gravitation est représentée par un flux isotrope émanant de l’étoile sphérique de masse M, traversant les sphères de rayon r entourant l’étoile. Cette surface valant 4πr², le flux traversant une surface constante, se « dilue » sur la surface de ces sphères en 1/r². En relativité la relation est plus complexe, car c’est une géométrie globale spatio-temporelle à 4 dimensions qui est définie, mais en champ faible stationnaire (loin des sources générant le « champ gravitationnel »), la gravitation newtonienne représente une approximation utilisable.

Avec 4 dimensions d’espace, en transposant cela, on aurait une hyper-étoile, hyper-sphérique d’hyper volume à 4 dimensions, d’hyper-masse HM, mais dont la loi devrait, selon le même principe décroître en 1/r3, puisque l’hyper-surface de l’hypersphère, délimitant l’hypersphère dans l’hyperespace-temps à 5 dimensions de signature {-, +, +, +, +}, si on considère une seule composante temporelle associée aux quatre d’espace, est une sphère à 3 dimensions d’espace.

Ce pourrait être dans cette hypersurface, de signature {-, +, +, +}, que nous, qui sommes des êtres tridimensionnels en espace, vivrions et il resterait à décrire la phénoménologie afférente dans cette sous-variété à 4 dimensions de la variété à 5 dimensions[1].

En mécanique classique, cette configuration ne produit pas d’orbites stables où la planète reste suffisamment longtemps à la même distance de l’étoile elle-même stable pendant ce temps, comme cela semble jugé nécessaire pour l’émergence de la vie.

Notons que l’argument a ses limites, car sait-t-on vraiment comment serait le champ généré par l’hyper masse[2]  d’une hyper étoile en mécanique newtonienne ?

Si on revisite cela en relativité, on doit considérer les géodésiques de la géométrie des espaces temps, qui bien-sûr existent, mais effectivement il faudrait vérifier qu’il en existe certaines, satisfaisant aux critères de stabilité, compatibles avec notre émergence.

On fait également valoir que l’existence d’atomes stables serait impossible, ce qui ruine la possibilité d’un monde comme nous le connaissons. Mais un argumentaire du même type que celui développé pour les planètes peut aussi s’appliquer.

Quant à l’émergence d’êtres qui incorporeraient 4 dimensions d’espace, le tout dans un espace-temps à 5 dimensions, nous n’avons pas vraiment d’idées sur la représentation de la phénoménologique associée.

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Première critique

La configuration 3 + 1 dimensions (trois de l’espace et une du temps) résulte d’une approche newtonienne. En relativité, ce n’est pas le cas. La structure de l’espace-temps n’est pas (3 + 1) mais 4, et le décomposer en (3 + 1) n’a aucun caractère physique (c’est totalement arbitraire).

 Par conséquent, comme développé dans d’autres pages de ce site [3], l’approche des coordonnées nulles, prenant en compte le rôle fondamental de la lumière qui confère la structure hyperbolique à notre univers, est bien plus réaliste que la foliation (3 + 1).

Une meilleure façon d’explorer ce sujet serait donc de suivre le formalisme Newman-Penrose exposé dans d’autres pages de ce site.

Signature de la métrique en relativité générale

La relativité générale hérite de la structure hyperbolique de la métrique de la relativité restreinte qui est (-, +, +, +), la coordonnée temporelle étant associée au signe « moins » et les trois coordonnées d’espace au signe « plus », dans la représentation de Minkowski, du fait que localement la relativité restreinte s’applique (sauf sur les singularités où la théorie n’est pas valide). Deux remarques à ce sujet.

  1. En relativité générale, une base locale définie par les vecteurs tangents aux coordonnées globales définies sur la variété, peut sembler présenter une signature différente. Sous l’horizon de trous noirs, les 4 coordonnées peuvent, par exemple, être simultanément de type espace. Pour autant, une base locale de Minkowski, qu’on peut définir en un point, aura bien la signature (-, +, +, +). La structure hyperbolique de l’espace-temps est bien préservée, le théorème de Sylvester le garantit, n’oublions pas que les coordonnées ont un caractère arbitraire.
  2. La signature (-, +, +, +) est valide dans la forme de Minkowski. Dans le formalisme de Newmann-Penrose, comme la base locale comporte 4 vecteurs nuls, la signature s’écrirait plutôt (0, 0, 0, 0).

Cas où il existe 2 coordonnées globales simultanément de type temps.

En gardant à l’esprit ce qui a été dit précédemment au sujet de la métrique locale qui s’applique aussi dans ce cas étrange, signalons qu’en relativité, il existe des solutions, comme les espace-temps de Kerr et Kerr-Newmann, [4] où, bien que la signature locale Minkowskienne de la métrique reste {-, +, +, +} partout, dans certaines régions il peut exister deux coordonnées globales de type temps (en l’occurrence t et φ  dans les coordonnées sphériques (t, r, θ, φ), générant une signature de métrique pour ces coordonnées ( t, r, θ, φ)  du type { -, +, +, -}.  Si ce cas est rare, il existe pourtant, et son impossibilité n’a jamais été démontrée.

Ceci, mis en évidence par B. Carter [5] , a pour conséquence une violation flagrante de la causalité, avec toutes ses conséquences. Il existe des lignes d’univers entre 2 événements A et B où A a pu être la cause de B et B la cause de A, on peut remonter le temps et bien d’autres paradoxes temporels sont possibles. [6]

Cependant il faut souligner que ces lignes d’univers ne sont pas géodésiques, elles nécessitent une interaction avec un phénomène autre que la gravitation : par exemple l’éjection de matière par une fusée provoquant une accélération par réaction.

Ainsi, selon la définition qu’on donne de la relativité générale on peut, soit considérer que ces solutions ne sont pas à prendre en compte si on ne considère que seules les géodésiques sont décrites par la relativité générale [7], soit qu’elles sont à prendre en compte si on accepte d’autres types de lignes d’univers que les géodésiques. Dans ce dernier cas, l’espace-temps de la relativité générale sert alors de « base » et les espace-temps locaux où les phénomènes non gravitationnels peuvent exister et interagir, ce qui amène à définir un couplage, sont des « fibres ».

Ces exemples montrent que la phénoménologie décrite par la relativité générale n’est pas compatible avec le cadre simple que lui confèrerait une description de l’univers par 3 dimensions d’espace et une de temps, par nature, puisqu’en relativité le temps et l’espace ne sont pas physiques, ils ne sont que des ombres de l’espace-temps, comme cela est exposé dans l’allégorie de la caverne de Platon.

La deuxième critique concerne l’approche anthropomorphique.

Cette critique a un caractère plus général, il est certain que nous cherchons à déterminer si d’autres conditions pourraient donner les mêmes phénomènes que ceux qu’on observe. Si le principe anthropique faible nous conforte sur l’existence de conditions, (en précisant des limites), permettant d’aboutir à ce qu’on observe, ce qui est un truisme, il ne dit rien sur des possibilités qui seraient très différentes mais qui structurellement pourrait donner quelque chose du même type, de manière plus ou moins évoluée, et encore moins sur quelque chose qu’on n’est même pas capable de concevoir.

L’univers et son existence, comme la nôtre, est un sujet où bien des mystères demeurent.


[1] Dans certaines théories, il existe des « branes » qui ont des dimensions inférieures à celle de l’espace les contenant. Ici espace est pris au sens général pouvant contenir des dimensions de type temps. N’oublions pas les dimensions de type nul.

[2] Si on ne conçoit pas très bien ce que pourrait être une hyper-masse en mécanique newtonienne, cela ne pose pas de problème en relativité : The tenseur énergie -impulsion Tμν serait défini pour μ, ν variant de 0 à 4.

[3] On trouve une description détaillée en : http://www.astromontgeron.fr/SR-Penrose.pdf

[4] Une solution analytique rigoureuse a été trouvée par Kerr en 1963 au problème des trous noirs en rotation, bien après la solution de Schwarzschild pour les trous noirs statiques qui date de1916. Soulignons que le problème paraissait pourtant simple puisqu’un trou noir en rotation est totalement défini par 2 paramètres : sa masse M et son moment angulaire J. Si le trou noir est chargé (ce qui est peu probable en cosmologie) il faut ajouter un troisième paramètre : la charge électrique E. Dans ce cas le trou noir possède aussi un moment magnétique.

[5] Global Structure of the Kerr family of gravitationnal fields.. Brandon. Carte,r.Phys. Rev. Vol. 174. Number 5,25 october 1968. Une traduction libre en français est disponible en : http://www.astromontgeron.fr/A_Carter-68-F.pdf

[6] Voir une analyse détaillée dans : http://www.astromontgeron.fr/Trous-noirs-de-Kerr-M2-JF.pdf

[7] C’est la définition rigoureuse de la théorie de la relativité générale qui ne traite que de la gravitation. Mais, rien n’interdit de considérer l’autre hypothèse.