L’interprétation de l’équation d’Einstein est-elle rigoureuse et correcte? Une voie vers la quantification?9/09/22

Rappel sur la dynamique, en gravitation

Ce qui intéresse le scientifique ce sont les lois du mouvement des corps en interaction gravitationnelle mutuelle: la dynamique d’un système. En effet c’est toujours à l’action d’un phénomène qu’on s’intéresse.

La mécanique newtonienne

Newton qui situait ces corps dans un espace euclidien tridimensionnel « absolu » (qui sert donc de référence), attribuait à chaque corps une masse active ma, générant un « champ gravitationnel » s’étendant dans cet espace selon des lois qu’il précisait, une masse passive mp, caractérisant le couplage de la masse avec le champ généré par les autres masses (mais pas par la sienne: pas d’auto-couplage). Il attribuait aussi une masse inertielle mi, selon la célèbre loi f = mi.a, où a est l’accélération que subit le corps, mi, sa masse inertielle et f la « force » appliquée au corps.

Cette force f « invisible » s’exerçant à distance dans le vide, dérivait d’un potentiel scalaire (donc additif), ce qui permettait de calculer facilement le potentiel généré par des masses distantes en tout point. Connaissant, ce potentiel, la position d’un corps dans l’espace et sa quantité de mouvement (un vecteur) on pouvait calculer la trajectoire de ce corps qu’on appelle « géodésiques » (trajectoire du corps quand il ne n’est soumis qu’à la seule force gravitationnelle).

Le paramètre dynamique de cette trajectoire est le temps « absolu » newtonien, indépendant de toute chose.

Le principe d’équivalence stipulait que mp = mi, (expérience de Galilée à la tour de Pise) et le principe d’action réaction que ma = mp. Ceci faisait que les 3 types de masses étaient égales, avec un paramétrage convenable (en fait elles sont « proportionnelles »).

Cette force gravitationnelle à distance paraissait un peu mystérieuse, mais comme la théorie donnait de bons résultats, (on notait juste une petite anomalie pour l’avance du périhélie de Mercure qu’on pensait pour expliquer) seuls les esprits chagrins en étaient contrariés.

La relativité générale

Après la relativité restreinte en 1905, dès 1907, Einstein s’est intéressé à la gravitation, car il était convaincu que les principes qu’il avait utilisés devaient s’appliquer également à la gravitation.

Le problème était ardu et après des tentatives infructueuses utilisant le principe d’équivalence, il va s’intéresser à un autre type d’approche: une description géométrique permettant de définir la dynamique, à savoir les « géodésiques » suivies par les corps sous l’interaction mutuelle gravitationnelle.

Ces « géodésiques » ne seront plus des trajectoires, résultants de forces qui s’appliquent sur les corps en interaction dans un espace euclidien, qui ne sont pas des géodésiques, au sens géométrique, de l’espace euclidien, car les géodésiques de l’espace euclidien sont des droites);

Ce seront de vraies géodésiques d’une géométrie non-euclidienne.

Cela lui a pris 10 ans pour en arriver là, mais fin 1915 il va publier sa célèbre équation.

Gmn = k.Tmn.

Gmm est le tenseur d’Einstein , un objet géométrique dans un espace-temps à 4 dimensions (t,x,y,z), muni d’une métrique, définissant la courbure de la géométrie, k est une constante dimensionnée (liée à la force de Planck, voir pages de ce site) assurant l’homogénéité de l’équation et Tmn est un tenseur, le tenseur énergie-impulsion qui représente la « physique » (matière-énergie).

C’est cette équation qui va définir la structure de l’espace-temps résultant des propriétés d’une métrique (qui peut avoir des symétries) et la la matière-énergie qui la va contraindre.

Dans cette approche, toutes les masses et l’énergie contribuent à définir l’espace-temps auquel, en retour, toutes ces masses et toute cette énergie va se coupler et en décrire les géodésiques. Ceci inclut un auto-couplage implicite.

Ce sont donc les géodésiques de cet espace-temps (mathématiquement représenté par une « variété ») qu vont définir la dynamique du système.

En toute rigueur, doit-on considérer tout l’espace-temps ou seulement une catégorie de géodésiques?

Un problème se pose. Le modèle mathématique définit une un objet géométrique « une variété » qu’on peut considérer comme un ensemble de points sur lequel on peut définir n’importe quelle courbe. Mais la théorie, si on ne considère que la gravitation ne s’intéresse qu’aux géodésiques (et en plus une catégorie particulière).

Il parait donc naturel de ne considérer que la catégorie minimale de géodésiques, qu’on appellera géodésiques structurelles, qui définissent un sous ensemble des points de la variété, de façon structurée, car engendrées par ces géodésiques.

On sait les difficultés que présentent, par exemple la quantification. Mais en général les méthodes considèrent la variété globale, pas un sous ensemble beaucoup plus contraint ou on peut espérer que ce soit plus simple.

Il serait dont intéressant d’étudier ces possibilités avec un sous-ensemble aussi restreint que possible, car en toute rigueur, sous l’influence de la gravitation seule, ce qui est l’objet de l’équation d’Einstein, seules ces géodésiques et le sous-ensemble de points qu’elles définissent peuvent être utilisés.

Exemple de la solution de « Schwarzschild »

Ce cas est très simple car l’espace temps, ainsi défini, est vide: la seule masse au centre est une singularité. Comme E. Cartan l’avait déjà décrit, en 1922 [1], il existe deux classes (infinies) de géodésiques nulles, l’une radiale entrante, l’autre radiale sortante.

Ajoutons que pour réduire au maximum le sous ensemble on peut ne considérer que les géodésiques d’une fréquence donnée à l’infini, car pour des fréquences différentes, le paramètre affine (l’impulsion dans le cas des géodésiques nulles) induit des géodésiques différentes.

Ces classes définissent la structure causale de l’espace-temps et engendrent une partie des points de la variété à 4 dimensions (t, x, y, z) de manière structurée.

C’est ce que donne la solution de l’équation d’Einstein.

L’idée, c’est que ce sous ensemble restreint soit un sous ensemble minimum qui cependant capture (possède et permet de définir) toutes les propriétés de la solution à l’équation d’Einstein.

Faut-il aussi ajouter les géodésiques radiales entrantes et sortantes de type temps (double infinité), sans boost, qui génèrent d’autres points de manière structurée de l’espace-temps , bien décrites dans la solution de Painlevé (1921) ?

En toute rigueur, s’il n’y a pas de matière, on peut se demander si c’est nécessaire. Si on n’étudie que les géodésiques nulles, ce n’est pas nécessaire, sinon il faudra faire cette extension.

On peut se demander s’il existe des géodésiques de type espace structurelles, sachant que ce type de géodésiques ne sont pas considérées dans notre monde physique.

Les classes sélectionnées définissent l’espace temps restreint généré par un corps unique, à symétrie sphérique. On peut utiliser ce sous-ensemble, qui bien que multiplement infini, est bien plus restreint que celui qui serait généré par l’ensemble des points avec l’ensemble des courbes possibles.

L’espoir est qu’il se prêterait mieux à des opérations de quantification et autres opérations mathématiques.

Notons que la quantification opère une restriction par une contrainte, opération similaire à celle que nous proposons, par une contrainte également.

Toutes les autres solutions (géodésiques circulaires, non circulaires, quelconques et les lignes d’univers non géodésiques ) ne sont pas des solutions « natives » de l’équation d’Einstein, car elles nécessitent des éléments étrangers à la gravitation.

Quantification de l’équation géodésique

Puisque, comme nous l’avons soutenu, la solution de l’équation d’Einstein peut se limiter à l’équation géodésique, le problème se ramène à quantifier l’équation géodésique, ce qui plus restrictif que de quantifier l’espace-temps de manière générale. Voir la solution de Painlevé, par exemple:

voir : https://astromontgeron.fr/Painleve-article-english.pdf

pour plus de détails.

Exemple du modèle standard de la cosmologie.

Dans ce cas l’univers n’est pas vide, puisque le tenseur matière énergie n’est pas nul. En plus des géodésiques nulles il faudra considérer les géodésiques de la matière « co-mobile » de l’expansion.

Toutes les autres lignes d’univers, géodésiques ou non ne relèvent pas nativement de la solution donnée par l’équation d’Einstein.

Là encore, un sous ensemble réduit génère tous les points nativement possibles de la variété. Le même type de remarques que précédemment s’applique.

Quid des géodésiques non structurelles et les lignes d’univers non géodésiques?

On peut, bien entendu, aussi traiter des géodésiques non structurelles et des lignes d’univers non géodésiques, mais il faut bien comprendre que cela va se faire, en général [2], par un couplage « perturbatif » (sans influence sur l’espace-temps) entre des phénomènes, de nature non gravitationnelle, par exemple des boosts, dans un espace local en un point de la variété avec l’espace-temps (représenté par la variété) défini par l’équation d’Einstein, d’où la structure de fibré, dont l’espace-temps est la base et l’espace local, la fibre.

Ceci va rendre possible des courbes passant par d’autres points (t, x, y, z) de la variété à quatre dimensions (une extension).

En général on assimile tout cela à la relativité générale, mais ce n’est pas rigoureux, et à ce titre peut être la source de confusion voire d’erreurs.

Une réflexion complémentaire serait utile.

[1] Petrov et Pironi, retrouveront et complèteront la contribution de E. Cartan, bien plus tard.

[2] Dans l’espace temps de Kerr-Newmann, l’espace-temps global est défini par le couplage de 2 équations, celle d’Einstein et celles de Maxwell, ceci échappe au cas général puisque cette contrainte est globale.

Comment l’existence d’un invariant de vitesse en relativité détruit l’espace et le temps.31/8/22

Introduction

Cette propriété se manifeste dans la théorie de la relativité restreinte. Bien entendu elle est conservée dans le relativité générale puisque localement les lois de relativité restreinte s’appliquent.

Un invariant de vitesse dans la théorie de la relativité restreinte

1-Le principe de relativité

Einstein avait posé deux hypothèses quand il a finalisé la théorie de la relativité restreinte (1905).

  • Les lois de la mécanique et de l’électromagnétisme sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels (référentiels galiléens). Ces référentiels sont caractérisés par le fait qu’on ne « ressent aucune force » : on flotte, un peu comme les astronautes dans la station spatiale internationale où en fait ce n’est pas tout à fait un référentiel inertiel- micro-gravité, mais c’est pour illustrer le phénomène.
  • Ces référentiels sont réputés « indiscernables » (pas de référentiel absolu ou préférentiel): des observateurs dans un habitacle fermé et opaque (sans vue vers l’extérieur) , ne pourraient pas déterminer, par des expérience locales de physique ou d’électromagnétisme, s’ils sont au repos ou en mouvement uniforme par rapport un supposé référentiel « repos » (l’espace absolu de la mécanique newtonienne).
  • C’est le principe de relativité: pas de référentiel privilégié, ils sont tous équivalents.
  • Pour le satisfaire, il faut établir un certain nombre d’équations décrivant les lois de transformation des coordonnées, (ce sont les transformations de Lorentz qui les avait établi de façon empirique, sans les fonder pour expliquer l’expérience Michelson-Morley), entre plusieurs référentiels inertiels.
  • L’apport essentiel d’Einstein a été de fonder ces transformation.
  • Ceci est en rupture totale avec la mécanique newtonienne et a des conséquences qui vont bien au delà de ce qu’on peut imaginer en raisonnant dans un contexte d’espace et de temps comme celui qu’on utilise en mécanique newtonienne, où on peut avoir l’impression qu’imposer un invariant de vitesse n’est qu’une contrainte accessoire.
  • Cela va impliquer de faire table rase de nos concepts de temps et d’espace fondamentaux et indépendants.
  • Émergence de l‘espace-temps.
  • En effet, comme le déclarera Minkowski peu de temps après : »La seule réalité physique est l’espace-temps (un nouveau concept) dont l’espace et le temps ne sont plus que des ombres.
  • Cet espace-temps, défini localement par l’intervalle d’espace-temps noté généralement « ds2 » , une forme bilinéaire incluant l’espace et le temps, (en fait c’est un « tenseur », la forme bilinéaire étant sa représentation en géométrie analytique) est un invariant.
  • Tous les observateurs inertiels, quelles que soient leurs vitesses uniformes relatives, pour un phénomène donné, s’accordent sur la valeur de ce ds2 (et celle du s2 qui en résulte, macroscopiquement, par intégration), alors qu’ils seront en désaccord pour les mesures d’espace et de temps séparément.
  • On parle de perte de synchronisation universelle. Deux événements simultanés pour un observateur inertiel ne le seront pas pour tous les observateurs inertiels. Ceci résulte du fait qu’il n’existe pas d’espace et de temps absolu, comme en mécanique newtonienne qui servaient de référentiel absolu, en relativité.

2-La vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels inertiels

Une constante de vitesse déjà prédite par le principe de relativité

Ce deuxième postulat qui a paru aussi fondamental que le premier, en fait, précise une donnée expérimentale sur quelque chose qui était déjà présent dans le premier postulat, à savoir d’un invariant de vitesse. En effet les équations pour établir les transformations entre référentiels montre l’existence d’une constante de vitesse, mais n’en précise pas la valeur.

Si cette constante est infinie (propagation instantanée) on retrouve la mécanique newtonienne, si , pour satisfaire les observations, on la pose égale à la vitesse de la lumière on obtient la relativité restreinte.

Notons; qu’en fait la lumière n’est qu’un marqueur d’une propriété de l’espace-temps dont cette vitesse limite est une propriété structurelle. Ceci est développé dans des pages de ce site.

Une physique totalement différente

Cette propriété, qui peut paraître anodine dans un contexte newtonien, va totalement bouleverser la physique car elle confère à l’espace-temps une structure « hyperbolique » avec des feuillets qui si elle est bien décrite par les équations est très difficile voire impossible à concevoir par notre esprit forgé dans l’espace et le temps.

Il faut alors faire confiance aux mathématiques, en renonçant (au moins provisoirement?) à toute velléité de conceptualisation, pour admettre des phénomènes qui défient l’entendement (par exemple le paradoxe des voyageurs de Langevin).

Confirmations expérimentales de l’étrangeté de la relativité

Il nous reste l’expérience pour vérifier que les mathématiques ne nous égarent pas.

Bien que les effets de l’espace-temps soient très faibles dans notre monde sensible, les observations précises que nous avons pu faire, sous réserve d’erreurs d’interprétation, confirment ce que les mathématiques prédisent.

Une situation paradoxale pour notre esprit

Comme les mathématiques sont un produit de l’esprit humain, nous sommes dans une situation paradoxale où notre esprit produit des concepts qu’il est incapable de comprendre.

Ceci a été discuté plus en détail dans des pages sur le site, cela résulte du mécanisme de fonctionnement de notre cerveau qui ne peut concevoir que ce à quoi il a été confronté.

La puissance heuristique des mathématiques

Manifestement le langage mathématique est plus puissant pour décrire la nature que ne sont nos conceptions issues de notre expérience usuelle.

En effet la structure du formalisme qu’on a été amené à développer pour traiter un problème, lorsqu’il se révèle qu’il est particulièrement adapté à un phénomène à traiter, ce qui se manifeste par sa représentation la plus simple et synthétique, nous renseigne sur la structure du phénomène lui-même, puisque cette adaptation ne peut résulter que d’un morphisme entre les deux entités: méthode du meilleur ajustement.

L’outil adapté nous informe sur l’objet auquel il est adapté. Ceci révèle la puissance heuristique exceptionnelle des mathématiques.

Rappelons quelques exemples.

Penrose , associé à Newmann, sur sa conviction profonde que les géodésiques nulles jouent un rôle fondamental en relativité générale (en particulier dans la causalité) développe dans les années 60 un formalisme étrange, en rupture totale avec les usages, totalement contre-intuitif, mais qui rend compte de la manière la plus simple de la phénoménologie des trous noirs de Kerr et Kerr-Newmann.

L’étude des rotations spatiales dans un espace euclidien aboutit à un groupe SO(3), dont l’algèbre de Lie associée montre qu’il existe un autre groupe plus fondamental, le groupe SU(2) qui montre qu’il faut une rotation de 720°pour revenir à l’état initial et non pas 360° comme on aurait pu le supposer et comme semblait l’indiquer le groupe SO(3). Là encore, ce sont les mathématiques qui ont révélé la solution.

On pourrait objecter que les mathématiques n’apportent que des informations de type formel, alors que nous considérons des problèmes physiques. Mais, en fait, ce qui importe ce sont les lois de la nature, qui, elles, sont de type relations formelles et lorsqu’on analyse la connaissance de plus près on se rend compte que toute la science se décrit en termes de relations régissant les actions entre les objets, de même nature entre eux et avec les autres. C’est l’action qui compte, un objet qui n’agit pas n’existe pas (Leibnitz).

On trouvera des compléments sur d’autres pages de ce site.

Une approche constructive

En conclusion, il nous appartient de travailler à réconcilier ces deux parties de nous-mêmes. On voit que pour cela nous disposons d’un outil puissant. Ce sont les mathématiques qui devraient servir de guide pour réaliser cela.

Ceci nous conduira peut-être à une amélioration de notre mode de pensée. On ne peut que l’espérer et malgré tout avoir une certaine confiance, car la situation bien que paradoxale n’est pas sans intérêt car elle permet de faire avancer la science même si c’est à notre esprit défendant!

Pour conclure ajoutons qu’en mécanique quantique nous sommes confrontés à ce même type de problématique, voir d’autres pages de ce site.

L’important c’est ce qu’on ne comprend pas ! 23/08/22

L’existence comme préalable

La nature de la connaissance et de ses limites structurelles a été discutée dans des pages de ce site. Quelques points essentiels sont brièvement repris ici.

Le point essentiel est le problème de notre existence, qui se présente comme une évidence, mais que nous ne comprenons pas, ce que l’existentialisme théorise mais qui peut laisser sur sa faim, car cela peut sembler une manière d’éluder la question alors qu’en fait elle stipule que la question n’a pas de sens puisque pour se la poser il faut exister. Il en va de même pour l’existence des atomes et des lois fondamentales.

Un peu d’histoire

La nature et la valeur de la connaissance a été étudiée dès l’antiquité (par exemple Platon avec l’allégorie de la caverne) puis a été au cœur des des débats philosophiques de l’époque classique, alors que, moins encadrée par les dogmes religieux, la science prenait de l’ampleur.

Connaissance et vérité

Un point essentiel était la relation entre connaissance et vérité.

Ainsi Kant déclarait:

« Les deux souches de la connaissance humaine, qui partent peut-être d’une racine commune mais inconnue de nous; la sensibilité et l’entendement; par la première les objets nous sont donnés, par la seconde il sont pensés »

Note: Par sensibilité, il faut comprendre ce qui nous est accessible par nos sens.

et il déclarait également (entre autres)

« La vérité, dit-on, consiste dans l’accord de la connaissance avec l’objet. Selon cette simple définition, ma connaissance doit donc s’accorder avec l’objet pour avoir valeur de vérité. Or le seul moyen que j’ai de comparer l’objet avec ma connaissance, c’est que je le connaisse. Ainsi ma connaissance doit se confirmer elle-même. Mais c’est bien loin de suffire à la vérité . Car puisque l’objet est hors de moi et que la connaissance est en moi, tout ce que je puis apprécier c’est si ma connaissance de l’objet s’accorde avec ma connaissance de l’objet. Les Anciens appelaient diallèle un tel cercle dans la définition….. »

(cité dans « Le plaisir de pensée- de A. Comte-Sponville, éd. Vuibert)

On voit que l’étude de la relation entre connaissance et vérité conduit à une auto-relation dont on ne peut rien déduire de vrai!

Par ailleurs il est souligné, dans d’autres articles, que la connaissance d’un objet se heurte à la complexité de l’objet dont il est, en général, impossible de saisir tous les aspects. L’avis général est que la connaissance ne peut être , au mieux, qu’une partie de la « vérité ».

La révolution scientifique du 20ième siècle

Alors que la science classique pensait être arrivée à un aboutissement à la fin du 19ième siècle, l’émergence de la relativité (restreinte puis générale) et de la mécanique quantique allait tout remettre en cause. Cela a concerné la science et en conséquence la nature de la connaissance.

Le rôle de l’expérience va changer.

Avant, l’expérience était considérée comme une question qu’on pose à la nature à propos d’une hypothèse préconçue formulée par notre entendement. En effet le dispositif expérimental est conçu en fonction du résultat qu’on escompte (ce qui fait dire à certains, une expérience est une théorie matérialisée).

Notons qu’une réponse conforme aux attentes ne valide pas pour autant une théorie, car rien ne dit qu’une expérience ultérieure l’invalidera, mais une réponse non conforme l’élimine.

L’élimination est définitive, la qualification n’est qu’un sursis. Ce qui fait que la connaissance s’acquiert plus par une série d’erreurs (éliminations) que de succès.

Notons que, si on a de la chance,on peut aussi obtenir une réponse qui correspond à une autre question que celle posée et qui peut présenter de l’intérêt (sérendipité).

Ce procédé présuppose que notre entendement est capable de concevoir la nature, mais que simplement, on n’a pas encore la connaissance précise du phénomène particulier qu’on étudie. L’humain est maître du jeu dans ce processus, la science consistant simplement à explorer et découvrir, au fur et à mesure, les différents aspects de la nature, comme on a découvert des terres inconnues au cours de l’histoire.

Pour les nouvelles théories du 20ième siècle, la relativité fait table rase des concepts de temps et d’espace et la mécanique quantique du déterminisme (à ce stade, on se demande ce qui reste…).

Autrement dit, comme nous appréhendions les théories via ces concepts, qui sont eux-mêmes au cœur de notre de notre existence même et surtout de notre entendement, la nature se révèle alors « inconcevable ». Dans ces conditions, difficile de soumettre à la nature des hypothèses préconçues.

Renversement de situation, c’est la nature qui est maintenant maitre du jeu et c’est à l’humain d’adapter son entendement pour élaborer des théories qui décrivent ces phénomènes dont certains aspects nous sont toujours inconcevables (espace-temps permettant des paradoxes temporels par exemple, indétermination, contra-factualité, paradoxe EPR … ).

Ces points ayant été discutés dans d’autres pages du site nous en resterons là pour cet aspect.

Le point vue matérialiste

Ces considérations générales étant rappelées, une autre énigme plus moderne est que les humains, considérés, d’un point de vue matérialiste comme un assemblage structuré d’atomes conformément à la structure permise de cet assemblage par les lois de la mécanique quantique, puissent développer une faculté d’analyse et de connaissance de ces lois.

C’est un méta-phénomène, incluant de plus une conscience, dont l’émergence fait toujours débat.

Ces points ont également été débattus dans les pages du site et dans le livre, et il ressort bien que les théories modernes (relativité et mécanique quantique) comportent des aspects que nous ne pouvons concevoir comme, par exemple, l’espace-temps destructeur de l’espace et du temps en relativité, l’indétermination quantique, la contra-factualité (possibilité de connaître la présence d’un détecteur dans une expérience quantique, sans qu’il soit activé) et le fameux paradoxe EPR, entre autres.

C’est bien la nature qui dicte sa loi

Par des formalismes développés pour cela, construits par un « morphisme » structurel et formel avec les lois étranges qu’on observe, les mathématiques nous permettent de les représenter plutôt correctement!

La nature nous a dicté sa loi et nous a conduit à une approche de type empirique. Le point positif c’est la puissance heuristique du procédé.

C’est l’inconcevable qui est la porte du salut!

Ceci, amène à considérer que ce qui est le plus important c’est ce que nous ne comprenons pas, car c’est là qu’il y a une possibilité de dépasser nos schémas de pensée habituels. Ceci a été partiellement fait, comme il vient d’être indiqué, mais est loin d’être abouti.

La nature de l’action(18/01/22)

Introduction: le principe de moindre action

Ce principe qui est un pilier de la physique, pour construire des théories fait référence à un concept dont la nature n’est pas très simple à cerner qu’on appelle l’action. C’est un scalaire, dont la dimension est une énergie multipliée par un temps ou une quantité de mouvement multiplié par une longueur (espace). Si on conçoit bien ce qu’est une énergie et un temps,pour le concept du produit des deux on ne voit pas très bien ce que c’est (idem pour une quantité de mouvement multiplié par une longueur).

Utilisation de l’action

On connaît la manière de s’en servir pour déterminer par exemple la trajectoire, dans un champ de forces, d’un corps muni d’une certaine quantité de mouvement au départ, entre 2 points A et B distincts dans l’espace et le temps. Si on intègre l’action le long des trajectoires reliant A et B, celle qui donne le minimum (en mécanique classique) sera la trajectoire physique.

Nature de l’action

L’utilité fondamentale d’un tel concept, cependant ne nous dévoile pas sa nature physique. C’est manifestement une caractéristique d’un « système » mécanique. Le lagrangien qui représente l’action est souvent appelé l’ADN du système considéré.

L’action en relativité

Ce concept est également fondamental, mais ce n’est plus sur une ligne entre 2 points qu’on va calculer une intégrale mais dans l’espace-temps global représentant un « univers ». On utilise alors ce qu’on appelle une « densité de lagrangien » et dans ce cas ce qui est déterminé n’est pas une trajectoire mais toutes les trajectoires, puisque c’est la géométrie de l’espace-temps qui résulte de ce qu’on appelle alors le principe « extremum » car ce n’est pas d’un minimum qu’il s’agit mais plutôt d’un maximum compte tenu de la structure hyperbolique de cet espace-temps. A ce titre l’action, globale sur l’univers peut être mieux comprise. c’est bien une propriété qui caractérise la géométrie de l’univers.

L’action au cœur de la mécanique quantique

La mécanique quantique, va définir un quantum d’action, défini par la constante de Planck h, introduite pour expliquer le rayonnement du corps noir. L’action qui était un concept formel, utilisé pour des calculs, sans caractère physique manifeste, devient, en mécanique quantique, physique, nécessaire et au cœur de la théorie.

De ce fait, c’est dans cette théorie qu’on doit pouvoir le mieux cerner sa nature conceptuelle. Associé au rayonnement dont le paramètre est la fréquence f dont la dimension est l’inverse d’un temps on comprend mieux sa nature par l’équation où E est l’énergie.

E = h.f

L’action du rayonnement, son quantum est le paramètre fondamental.

C’est lui qui va déterminer la fréquence du rayonnement qui va correspondre à l’énergie nécessaire pour faire changer de niveau les électrons dans l’atome jusqu’à les arracher.

Ceci, nous amène à penser que, dans toute la physique, aborder les problèmes par l’action, et en utilisant le rayonnement comme concept fondamental dans la physique même non quantique est sans doute une clé pour aborder autrement la physique.

Dans un autre article on montre comment, en relativité, utiliser un formalisme qui privilégie le rayonnement électromagnétique comme référence, avec la fréquence comme paramètre, au lieu de référentiels minkowskiens, peut clarifier et simplifier la description des phénomènes.

Does gravity always wins thanks to a free lunch ? 11/28/21

 The collapse of a massive star into a black hole shows that while the star must « burn fuel », in this case fuses light chemical elements, which it has in limited quantities, to maintain the hydrostatic balance, where the expansion of the heated gas is compensated by the gravitational contraction, the gravitation, which does not seem to need anything at all, ends up overcoming this equilibrium when the star’s reserves are depleted.

For a massive star (more than 8 solar masses approximately), this occurs in spite, even of the quantum effects which, by the principle of exclusion of Pauli for the electrons then by the neutrons (more intense), can stop it and produce according to the mass of the star, white dwarfs and neutron stars.

That gravity seems to “need nothing”, in this process. As the nature, usually, does not provide “free lunch,”, is this a naive and Newtonian view of the problem?

While the pressure which results of the random motion of the atoms of the “gas” increases as the temperature increases, which is a classic thermodynamic representation, gravitation is represented by a spacetime which does not seem related, conceptually to that.

 Although Einstein’s equation is a local equation, in relativity, the physical variables of gravity are global because they are associated with the global geometry of the universe.

This phenomenon depends on the type of space-time in which it occurs.

The case of the Schwarzschild solution

 In a Schwarzschild-type solution, we know that the spacetime remains the same outside the initial surface of the star, the “gravitational flux” being preserved in a collapse with spherical symmetry, on the other hand it changes inside. of this surface where instead of matter there will be vacuum.

Schwarzschild’s space-time phenomenology

Schwarzschild’s metric suggests that space is static, this implying the problem of a singularity oo the horizon. We know, Paul Painlevé was the first in history (1921) to provide a metric which is not singular on the horizon, this implying to get rid of a static space. This solution and those of many others further show that the space is in eternal collapse as illustrated on the figure below.

Therefore, the gas in the star is not static but outward going in this collapsing spacetime for maintaining its distance to the center of mass.

There is no mystery, it is because of the structure of this spacetime that free matter falls and would need energy for getting the acceleration requested for staying at the same distance of the center of mass. A static Schwarzschild observer is not a geodesic observer but an accelerated observer.

Last remark about white dwarfs and neutron stars where quantic effect (Pauli exclusion principle) looks to work permanently as gravitation does. Does this maintain an eternal the equilibrium ?

It would be interesting to understand this phenomenon.

What about quadrupolar gravitational waves?

The general rule is that a spherical collapse does not generate gravitational waves and that the lower order is provided by quadrupolar gravitational waves.

C’est toujours la gravitation qui gagne! 28/11/21

L’effondrement d’une étoile massive en trou noir montre qu’alors que l’étoile doit ” consommer du carburant”, en l’occurrence fusionner des éléments chimiques légers, dont elle dispose en quantité limitée, pour maintenir l’équilibre hydrostatique, où l’expansion du gaz chauffé est compensée par la contraction gravitationnelle, la gravitation, qui ne semble consommer rien du tout, finit par venir à bout de cet équilibre lorsque les réserves de l’étoile s’amenuisent.

Et ceci, si elle est très massive (plus de 8 masses solaires environ), en dépit, même des effets quantiques qui, par le principe d’exclusion de Pauli pour les électrons puis par les neutrons (plus intense), peuvent la stopper et produire selon la masse de l’étoile, des naines blanches et étoiles à neutrons.

Que la gravitation semble “ne rien consommer”, (on rase gratis) dans ce processus, est-elle une vision naïve et newtonienne du problème ?

Alors que la pression exercée par l’agitation des atomes du “gaz” est d’autant plus grande que la température est élevée, ce qui est une représentation thermodynamique classique, la gravitation est représentée par un espace-temps ce qui ne semble avoir, conceptuellement, aucun rapport.

Bien que l’équation d’Einstein soit une équation locale, en relativité, les variables physiques de la gravitation sont globales car associées à la géométrie globale de cet espace-temps.

Ce phénomène dépend du type d’espace-temps dans lequel il se produit.

Le cas de la solution dite de « Schwarzschild »

Dans une solution de type Schwarzschild, on sait que l’espace-temps reste le même à l’extérieur de la surface initiale de l’étoile, le flux de « gravitation » émis par la masse sphérique centrale étant conservé dans un effondrement à symétrie sphérique.

Par contre il change à l’intérieur de cette surface où à la place de matière on aura du vide.

Phénoménologie de cette solution

La représentation de cet espace-temps par la métrique de Schwarzschild laisse à penser que l’espace est « statique », d’où le problème de la singularité sur l’horizon. Les représentations plus modernes montrent qu’il n’en est rien. Paul Painlevé a été le premier à proposer une solution non singulière sur l’horizon en 1921 qui montre un espace en effondrement « éternel », comme illustré sur l’image ci-dessous.

L’image habituelle de l’étoile statique en équilibre avec la gravitation est donc trompeuse car, en fait les atomes du gaz de l’étoile sont en mouvement vers l’extérieur pour compenser l’effondrement de l’espace dans lequel ils sont plongés et se maintenir à distance constante du centre de masse!

On comprend alors pourquoi la gravitation semble ne pas dépenser d’énergie, l’espace-temps de cette solution est structurellement en effondrement « éternel » et c’est la matière qui doit consommer de l’énergie pour se maintenir « immobile », comme une fusée qui doit éjecter des gaz dans un champ gravitationnel pour ne pas tomber.

Il n’y a pas de mystère dans ce cas.

Un point intéressant est le cas des naines blanches et étoiles à neutrons, où l’effet quantique qui s’oppose à la gravitation semble lui aussi être « éternel », ce qui mériterait d’être compris et expliqué…

Quid d’ondes gravitationnelles quadrupolaires?

La règle est que pour un effondrement à symétrie sphérique aucune onde gravitationnelle n’est émise.

A suivre…

Création (big Bang) ou dissociation du néant en cosmologie ?

Introduction

Si la création « ex nihilo » de quelque chose chagrine notre esprit car elle viole certains principe de conservation (quelque chose émerge de rien), la notion de dissociation du néant, où le néant accouche de deux entités physiques symétriques (aussi appelées contraires) telles que, pour tous leurs paramètres, leurs valeurs prises en compte pour l’ensemble (la somme) des deux entités scientifiques symétriques sont les mêmes que celles du néant, est plus agréable à notre esprit car elle ne viole pas, du moins macroscopiquement, ces principes de conservation, d’autant qu’on peut les recombiner pour restaurer le néant initial.[1]

Un exemple est la dissociation du vide en une paire particule-antiparticule, en vertu de la relation d’indétermination d’Heisenberg. Cette paire peut ensuite s’annihiler en redonnant l’état de départ du vide (si elle n’a pas interagi avec d’autres).

Un exemple plus proche de la cosmologie est donné par la solution de Schwarzschild [2], en relativité, pour un espace à symétrie sphérique. Pour un corps central satisfaisant à certaines conditions[3], un horizon se forme déterminant 2 régions de phénoménologies différentes. La région extérieure est celle générée par exemple par le Soleil, à l’extérieur, que nous connaissons, dans notre système solaire, la partie intérieure est un espace-temps en effondrement où aucun corps ne peut être statique. Bien que dès 1921, la solution de Painlevé [4] le montrait implicitement, il a fallu attendre une solution comme celle de Kruskal[5], en 1960, qui montrait, en plus, une connexion de type espace entre les régions symétriques intérieures à « l’horizon », pour en prendre vraiment conscience et pour réaliser que ces deux régions avaient leurs symétriques où la phénoménologie est inversée (espace-temps en expansion au lieu qu’en contraction). Si on considère les 4 régions, globalement, les paramètres, par exemple l’énergie de la masse centrale, calculée en relativité générale est nulle. Conventionnellement, elle vaut + M pour la partie en contraction (2 régions) et – M pour la partie symétrique en expansion (2 régions).

On peut s’étonner de la possibilité d’une masse gravitationnelle active négative, mais celle-ci résulte de l’intégrale d’un flux du vecteur associé à l’énergie en relativité générale, dont le signe dépend de l’orientation.

Reste un point important qui est celui de la réalité physique de cette solution mathématique symétrique. De nombreuses restrictions existent [6], et cela ne semble possible, et encore de manière très spéculative, que dans l’univers primordial. Mais les équations le permettent et nous vu qu’assez souvent les équations finissaient par avoir raison !

Ce type de paradigme est-il applicable à la cosmologie ?

Une symétrie ( entre temps et espace qui échangent leur rôle dans la phénoménologie) entre la solution de Schwarzschild et celle de Friedmann-Lemaître pour la cosmologie est assez évidente puisque, si le modèle standard cosmologique (Big Bang) présente un univers en expansion, les équations symétriques montrent que mathématiquement, un univers symétrique (en contraction) existe.

 La singularité « initiale » de la solution en expansion (le Big bang) est une singularité de type espace (l’espace « disparaît »), à la différence de celle de Schwarzschild qui est de type temps. Dans le Big Bang, les géodésiques de type espace sont incomplètes mais pas celles de type temps.

Donc, si une solution au problème cosmologique donne des espace-temps symétriques, ils peuvent être connectés par une ligne de type temps (dans un espace de taille nulle).

Dès 1932, G. Lemaître, dans son analyse magistrale avait présenté le modèle cosmologique et la solution de Schwarzschild, (dont il expliquait le caractère fictif de la singularité sur l’horizon), comme deux cas particuliers d’un même modèle. Il montrait dans son article « L’univers en expansion »que des solutions mathématiques symétriques, étaient également valables pour le problème cosmologique [7].

Pour montrer comment Lemaître aborde le problème nous donnons, ci-dessous, l’extrait de son article « L’univers en expansion » de 1932, adapté et commenté, où il établit l’équation géodésique cosmologique avec constante cosmologique (les références des équations sont celles du document dont cette partie est extraite).

L’équation géodésique cosmologique de Lemaître traduit la dynamique de l’espace

En posant[8]                                               

L’équation géodésique s’écrit :                                                   

Lemaître propose la solution[9] :

qui est l’équation (14-10)[10] .

Comme la figure 14-1 ci-dessous le visualise, cette équation décrit une région en expansion et une région en contraction.

Accessoirement, notons au passage que pour sa version cosmologique correspondant à un espace vide (la solution dite de Schwarzschild), Lemaître avait, comme Painlevé en 1921, trouvé une solution qui définissait par un jeu de 2 équations, les 4 régions du « trou noir statique à symétrie sphérique » [11], environ 30 ans avant Kruskal, mais ceci n’a pas retenu son attention, de même que, comme il traitait le cas d’un univers en expansion, c’est évidemment « l’anti-univers » qu’il définit, ce que ses équations montrent clairement, sans qu’il fasse le moindre commentaire à ce sujet!

Lemaître réintroduit un caractère d’homogénéité dans sa solution au problème

Dans les hypothèses de base nous avions les coordonnées indépendantes t, χ et une fonction r(t, χ), soit trois possibilités de coordonnées (t, χ, r)  pour deux degrés de liberté, ce qui permet en en éliminant une de décliner plusieurs formes.

Rappelons que l’équation (14-9) n’implique que la dérivée partielle de r par rapport à t et que la masse centrale, m ne dépend pas de χ.

La coordonnée χ réapparaît cependant dans (14-10) mais, non pas comme une coordonnée indépendante de t puisque c’est (t – χ) qui intervient dans les équations et dans la métrique mais comme une constante d’intégration, associée à un observateur de Lemaître-Painlevé, co-mobile de la dynamique de l’espace, fixée par des conditions initiales pour t = 0 [12].

Elle permet d’étiqueter, sur la géodésique radiale, les différents observateurs de Lemaître.

Rappelons que, comme dans la solution de Friedmann, l’espace est homogène, pour décrire la phénoménologie il n’est pas nécessaire de repérer l’observateur.

L’origine (arbitraire) des coordonnées dans cette forme c’est là où l’observateur se trouve puisque tous sont équivalents.

Pour le problème du corps unique sphérique, c’est la situation duale : l’isotropie n’est valide que par rapport à un point particulier qu’on choisira comme origine et l’espace n’étant pas homogène les phénoménologies sont différentes pour des observateurs co-mobiles de l’espace en ses différents points à un instant donné. On peut étiqueter ces points par la coordonnée χ, qui,non contrainte par l’équivalence de masse avec la solution de Friedmann, est libre.

Ces observateurs co-mobiles définissent une classe dont chaque élément décrit toute la phénoménologie de cet espace-temps au cours du temps.

 Le choix de l’observateur de cette classe est libre (arbitraire) comme dans la solution de Friedmann et du coup Lemaître réintroduit par son analyse une forme d’homogénéité qui se manifeste dans l’équation non pas par rapport à une coordonnée unique mais par rapport à la différence entre deux coordonnées.

Cette homogénéité, est invariante par translation simultanée de χ et t si (ct – χ) = constante.

Ceci correspond en fait à une translation spatio-temporelle à r = constante, mais il est significatif que cette forme représente sous forme d’homogénéité spatio-temporelle une symétrie sphérique spatiale.

Dans l’équation (14-10), la coordonnée spatiale χ de la forme de Lemaître, est un paramètre affin donnant la valeur origine du paramètre affin t. En différenciant (14-10) on voit qu’ils sont liés par la relation que nous utiliserons plus loin :

Cette relation sur t, χ , r(t, χ) contraint les degrés de liberté de la solution géodésique.

Étudions la variation de r(t- χ) lorsque t augmente.

Prenons, par exemple, la courbe correspondant à l’équation (14-10) pour λ = 4/3  ( bleu clair).

Lorsque t varie de -∞ à t = χ, on voit que r (t-χ) diminue jusqu’à atteindre la valeur 0.

Ceci correspond à une contraction de l’univers au sens cosmologique.

Pour, t > χ l’univers est en expansion, l’observateur de Lemaître est expulsé.

Comme r = 0 est une singularité de type espace, on ne peut pas passer continûment de la région spatiale tri-dimensionnelle de contraction à la région spatiale tri-dimensionnelle d’expansion : ce sont donc des régions spatiales infinies disjointes. Mais comme t n’est pas singulier, ces régions sont connectées par le temps (de dimension 1), même si la taille de l’espace est nulle.

Nous voyons que les équations de Lemaître décrivent bien la solution analytique complète et que, déjà Lemaître avait prédit, la symétrie univers-anti-univers et la connexion temporelle entre les 2 espaces.

Des problèmes demeurent

Si cette dissociation, qui permet aussi d’envisager une solution pour des dissymétries de l’univers en supposant le pendant de ces dissymétries dans l’anti-univers, est plus agréable à notre esprit qu’une création, par contre il reste à expliquer d’où proviennent les 4 interactions de notre univers qui jouent un rôle d’ADN pour régir son destin.

 Soit on invoque des propriétés aléatoires du néant et on invoque l’argument anthropique pour justifier ces propriétés par le fait que ce sont elles qui ont permis notre existence, soit le néant est lui-même structuré par ces 4 interactions, et alors il n’est pas dépourvu de tout, ce qui reporte le problème sur un autre ! 

En fait il semble que la seule solution qui élude ce report du problème à l’infini, est une boucle spatio-temporelle car elle est fermée. Mais cela, également n’est pas sans poser de problème !


[1] Cette notion est très répandue dans les diverses sociétés, ainsi le bien et le mal, Dieu et le Diable, le ying et le yang, etc.  Souvent, on sous-entend que l’un n’existerait pas sans son contraire. Que serait le bien sans le mal ?

[2] Cette solution est en fait due à Droste, qui a généralisé (à 2 régions, la solution qu’avait proposé Schwarzschild auparavant en (1916) qui ne décrivait qu’une région. On a gardé le nom du premier auteur.

[3]  La masse M du corps central à symétrie sphérique doit être contenue dans un corps de rayon r < 2GM/c².

[4] Painlevé, 1921, Compte rendu de l’académie des sciences du 24/10/1921.

[5] [Kruskal 1960] (en) M. D. Kruskal, « Maximal extension of Schwarzschild metric , Phys. Rev., vol. 119, no 5,‎ sept. 1960, p. 1743-1745). Ces coordonnées montrent que les régions sont connectées par un pont de type espace, ce qui est possible car la singularité qui « sépare » les régions connexes est de type temps. La géodésique radiale, de type temps, entrante (chute libre sans vitesse non radiale) est incomplète : Elle n’est pas définie en r = 0. L’espace n’est pas singulier pour r = 0.

[6] La formation d’un trou noir par effondrement gravitationnel d’une supernova, ne permet pas l’existence d’un univers symétrique, les conditions initiales étant dissymétriques.

[7] Lemaître G. 1932, « L’univers en expansion » Publication du laboratoire de Géodésie, Université de Louvain. Repris in extenso en 1933 dans d’autres publications. La solution de Schwarzschild est considérée comme un modèle cosmologique d’un espace vide. ». Il utilise d’autres coordonnées dans son analyse donnée dans l’univers en expansion.

[8]Le paramètre λ est la constante cosmologique, le rayon de courbure R vaut (3/λ.)1/2, donc λr² = r²/R².

[9]L’équation (14-9), donnée au chapitre 11 de son article, correspondant au cas simple où la courbure spatiale est nulle et d’un univers vide, donné à titre d’exemple, a pour solutions r = ± 2r0Sh2/3 [3A(t -χ t)/2]. Lemaître ne considère pas le cas où r < 0, d’ailleurs ceci n’ajouterait rien à la phénoménologie. Notons que la fonction est paire: r(t –χ) = r (χ-t), ce qui justifie les 2 régions, t pouvant varier de moins l’infini à plus l’infini.

[10]Compte tenu que r(t –χ) = r (χ-t), on peut tout aussi bien écrire: r = 2r0Sh2/3 [3A(χ – t)/2]  (11.4bis).

[11]Ce que Synge, en mathématicien, avait remarqué, sans y prêter plus attention ! Synge JL. (1950).

[12] La coordonnée radiale χ qui caractérisait le volume contenant la masse m, dans la solution de Friedmann, ne sert plus puisque cette masse ne dépend plus du volume, mais va servir d’étiquette temporelle aux observateurs en chute libre radiale en repérant par exemple la date de passage relative t0 par un point remarquable de la géodésique (la singularité s’impose puisque cette géodésique est incomplète). En posant χ = t0 (choix unité) on remplace t – t0 par t – χ. L’équation géodésique est fonction de |t-χ|. Elle est invariante par translation à 45° (r = constante) dans le plan t, χ. Lemaître n’a pas explicité les implications de cet affaiblissement de degrés de liberté.

[13]En utilisant le logiciel Maxima. Remarquons la discontinuité de la dérivée de r( t -χ) pour t =χ, (r = 0).

L’équation d’Einstein et la force de Planck

L’équation d’Einstein

Après avoir fondé et établi les équations de la mécanique et de l’électromagnétisme pour la relativité restreinte en 1905, dès 1907, Einstein va tenter de les adapter au cas de la gravitation. Il commencera par tenter une approche s’appuyant sur le principe d’équivalence, au motif que cela lui paraissait « plus simple ». Ses tentatives de définir un potentiel scalaire adapté au cas de la gravitation « relativiste » aboutissaient à des violations des principes de la physique et ses corrections et adaptations pour corriger ce problème menaient à d’autres impasses.

Il faudra attendre 1913 (Entwurf) pour qu’Einstein (plutôt bien inspiré), aidé par son ami Grossman pour la partie purement mathématique, envisage une nouvelle approche utilisant les géométries non-euclidiennes. Il faudra encore plus de 2 ans pour qu’il surmonte des difficultés, (argument du « trou », cohérence avec la mécanique newtonienne en champ faible et lentement variable, prise de conscience que les coordonnées n’ont pas de caractère physique), pour qu’il parvienne laborieusement à la solution correcte ?

Pour une description très documenté de sa démarche, voir  [1].

Quelle est la signification de l’équation d’Einstein ?

Cette équation qui s’écrit :

Gµν  = κTµν

Où  Gµν  =  Rµν  – ½ R gµν  est le tenseur d’Einstein, 

 Rµν est tenseur de Ricci qui est la contraction du tenseur de Riemann, R le scalaire de Ricci qui est la contraction de tenseur de Ricci, Le terme gµν est le tenseur métrique. Tµν est le tenseur énergie-impulsion qui caractérise la présence d’éléments physiques (matière, rayonnement, etc.), par leur impulsion-énergie.

 La lettre κ représente une constante dimensionnée pour assurer l’homogénéité de l’équation.

En effet, le membre de gauche de l’équation représente un objet géométrique (mathématique), purement formel, alors que celui de droite représente un objet physique, la matière, le rayonnement par exemple, avec son énergie et l’impulsion, en général appelée génériquement matière-énergie.

Ce terme « de couplage » va donc nous révéler comment le concret (la matière-énergie) agit sur l’abstrait (la géométrie) et vice-versa. Au-delà d’assurer la pure homogénéité de l’équation, ce qui est une exigence mathématique, la nature de κ va nous révéler la nature physique de cette constante de couplage.

Equation d’Einstein et équations de la gravitation newtonienne

La relativité générale est une théorie de la gravitation qui, au niveau conceptuel, est une évolution transcendante de la mécanique classique, comme Bachelard l’a souligné. [2]

Malgré les apparences elle est conceptuellement beaucoup plus simple, car plus synthétique que la mécanique newtonienne pour la gravitation.

Là, où la mécanique newtonienne nécessite un espace tridimensionnel de fond (euclidien) et un temps absolu, un concept de force (à distance assez mystérieux) qui dérive d’un potentiel gravitationnel, un jeu de 2 équations (une pour la conservation de l’énergie et l’autre du moment angulaire), pour définir les trajectoires (les géodésiques) des objets soumis à la gravitation, lesquelles géodésiques ne sont pas, en général,  les géodésiques de l’espace euclidien (où les géodésiques sont des droites), la  relativité générale résout tout cela  synthétiquement, en une seule équation, en utilisant le concept d’espace-temps, au lieu de celui d’espace et de temps indépendants.

En mécanique newtonienne, une masse M en un point P se couple par sa masse gravitationnelle passive[3] avec le potentiel défini par l’ensemble des autres masses gravitationnelle actives. Ce potentiel est la somme des potentiels générés par ces autres masses gravitationnelles actives en ce point. Curieusement le potentiel créé par la propre masse (active) M n’intervient pas dans ce processus.

En relativité générale, toutes les masses contribuent à définir la géométrie de l’espace-temps et en retour, toutes les masses se couplent à cet espace-temps qu’elles ont toutes contribué à définir, en suivant les géodésiques de l’espace-temps de cette géométrie.

En fait, la finalité de cette équation d’Einstein, en définissant la géométrie de l’espace-temps, est de définir toutes les géodésiques de cette géométrie. Ainsi, elle définit la dynamique, ce qui est bien la finalité de telles équations, quelle que soit la théorie utilisée. L’anomalie de la mécanique newtonienne précédemment décrite n’existe donc pas en relativité générale, toutes les masses sont prises en compte pour la phénoménologie.

La force de Planck, une constante de la physique ?

Nous avons décrit comment cette force pouvait être définie et où elle intervenait dans un autre article [4]

La valeur de κ est 8πG/c4.

Avec cette valeur l’équation d’Einstein s’écrit :

(c4/4G) Gµν  = 2π Tµν

En rappelant que la définition de la force de Planck FP est :

FP = c4/G

L’équation d’Einstein s’écrit :

FP/4Gµν = 2π Tµν

Au-delà, d’assurer l’homogénéité de l‘équation, ce qui ne porte que sur des attributs dimensionnels, sans valeurs quantitatives, le point conceptuel fondamental est que c’est cette force de Planck, avec sa valeur quantitative, est le médiateur entre la géométrie et la matière, ceci en fait une constante de la physique, dont il convient d’approfondir la portée.

En particulier cette constante dont la dimension est une force nous renseigne sur la nature physique, avec sa matière-impulsion-énergie de l’espace-temps puisque s’appliquant sur un objet géométrique formel, c’est elle qui confère à l’espace-temps physique ses attributs physiques.

Sa présence, qui pouvait paraître inopinée, dans de nombreuses équations de la relativité générale, s’explique alors. C’est à la lumière de cette constante qu’on peut déduire certaines propriétés physiques de cet espace-temps, comme cela a été fait dans l’article cité dans la note 4 où, elle sert de guide directeur pour proposer une interprétation des solutions de la relativité générale A suivre…


[1] Einstein, œuvres choisies Relativités 2, F. Balibar : https://www.cnrseditions.fr/catalogue/physique-et-astrophysique/03-francoise-balibar/

[2] Le nouvel esprit scientifique : https://gastonbachelard.org/le-nouvel-esprit-scientifique/

[3] En gravitation newtonienne, une masse se décline en 3 caractères : masse inertielle, masse gravitationnelle active (qui génère le champ gravitationnel), masse gravitationnelle passive (qui se couple au champ gravitationnel présent au point où se situe la masse). Chaque masse possède les 3 caractères et ces trois masses qui sont proportionnelles sont égales par définition.

[4] Voir : https://vous-avez-dit-bigbang.fr/?page_id=452. Voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_Planck

Quel est l’âge de l’univers?

Quand on dit que l’âge de l’univers est estimé à 13, 7 milliards d’années, cela veut-t-il dire que, nous pourrions voir le big bang à 13,7 milliards d’années de notre passé?

Cela supposerait que nous disposions d’un moyen d’observation très puissant.

Compte tenu de la vitesse de la lumière qui constitue une limite, plus on regarde un événement loin dans l’espace, plus on voit loin dans notre passé, puisque plus la lumière émise par cet événement met plus de temps à nous parvenir, alors, très loin dans l’espace, correspondant à 13, 7 milliards d’année de notre passé, verrions nous le big bang?

Hélas non! Le temps de 13, 7 milliards d’années n’est pas notre temps actuel, celui que nous vivons appelé notre temps propre, en fait pour nous le big bang tel qu’il est décrit dans le modèle standard est rejeté à l’infini de notre passé, nous ne pouvons pas l’observer. Par quel mystère cela est-il possible?

Ce temps de 13, 7 milliards d’années correspond à la coordonnée temps d’une forme particulière des équations qui décrivent la cosmologie relativiste, incluant la métrique de Robertson-Walker qui, entre-autres, définit ce temps, appelé « temps cosmologique ».

Ce temps n’est pas le nôtre, il y est cependant relié par des équations qui précisément donnent un facteur multiplicatif qui diverge vers l’infini lorsqu’on s’approche du big bang.

Cette possibilité d’existence de temps différents est une conséquence de la relativité où il n’existe pas de temps universel. Chacun peut avoir son propre temps, différent de celui de tous les autres. C’est ce qui se produit dans ce cas. Donc, attention, quand on parle de temps, bien vérifier duquel il s’agit.

Is our existence only possible in a universe made up of three spatial dimensions and one of time?

 Arguments

This topic has been studied in a few articles. Usually, these studies extrapolate what we know and show that the laws of physics that support the stability of our world are (presumably) only possible in such a configuration, although they do not completely rule out other possibilities.

 For example, it is pointed out that in Newtonian gravitation, the existence of stable orbits of planets, around a spherical star (of 3-dimensional volume whose surface is a 2-sphere) results from a law of gravitation decreasing in r², which is understandable because the action of gravitation is represented by an isotropic flow emanating from the spherical star of mass M, crossing the 2-spheres of radius r surrounding the star. This surface being equal to 4πr², the flux crossing a constant surface, is “diluted” on the surface of these 2-spheres in 1 / r².

In relativity the relationship is more complex because it is a 4-dimensional global spatio-temporal geometry that is defined, but in a stationary weak field (far from sources generating the “gravitational field”), Newtonian gravitation represents an efficient approximation.

With 4 dimensions of space, by transposing this, we would have a “hyper-star”, hyper-spherical of hyper volume in 4 dimensions, of “hyper-mass” HM, but whose law should, according to the same principle, decrease in 1 / r3 .

This is because the hypersurface of the hypersphere, delimiting the hypersphere, in the “hyperspace-time” with a 5 dimensions signature {-, +, +, +, +}, (if we consider a single temporal component, associated with the four of space), is a 3- sphere.

In a four dimensional “Newton-like mechanics” , this configuration would not produce stable orbits, where the planet would remain long enough at the same distance from the star, star itself stable during this time, as requested for the emergence of life.

 Would it be in this hypersurface of signature {-, +, +, +}, that we, humans, (who are three-dimensional beings in space), would live ?

In general relativity, if it is the case, the related phenomenology in this 4-dimensional sub-manifold of the 5-dimensional manifold (a brane?), would be described by the geometry of this sub-manifold.[1]

Anyway, the argument has its limits, because do we really know what physical representation and which experiences should be conducted for grasping the paramters of such “hyper mass”of an “hyper star” and what kind of field it would generate, especially in classical mechanics. [2] .

In relativity, we must find geodesics in the geometry of the “hyperspace-time”, that comply with the criteria of stability, compatible with our emergence.

It is also argued that the existence of stable atoms, as we know them, would be impossible. This would ruin the possibility of a world as we know it.

But, in a 5-dimensional “hyper-spacetime”, we do not really have any ideas on the representation of the associated phenomenology! See the chapter “Can we avoid an anthropomorphic approach?”.

Comments on these arguments

 The 3 + 1 dimensional configuration (three of space and one of time) results from a Newtonian approach. In relativity, this is not the case. The structure of space-time is not (3 + 1) but 4 and foliating it into (3 + 1) has no physical character (it’s totally arbitrary).

Therefore, as developed in other pages of this site [3], the null coordinate approach (Newmann-Penrose formalism), taking into account the fundamental role of light which gives the hyperbolic structure to our universe, would give a more physical representation than foliation (3 + 1).

Signature of the metric in general relativity

The hyperbolic structure of the metric of the general relativity is inherited from that of the special relativity metric which is (-, +, +, +), the time coordinate being associated with the “minus” sign and the three space coordinates with the “plus” sign, in Minkowski’s representation because, locally, special relativity applies (except on singularities where the theory is not valid).

Comments, on this topic.

In general relativity, a local basis defined by the tangent vectors at the global coordinates defined on the manifold, may present a different signature. For instance, inside the horizon of black holes, the four global coordinates can be simultaneously spacelike.

However, a local Minkowski base, which can be defined at a point, will still have the signature (-, +, +, +). The hyperbolic structure of space-time is well preserved as the Sylvester’s theorem guarantees it. Let us not forget that the coordinates are arbitrary. The signature (-, +, +, +) is valid in the form of Minkowski. In the Newmann-Penrose formalism, since the local basis has 4 null vectors, the signature would rather be written (0, 0, 0, 0).

Case where there are two global coordinates simultaneously timelike.

This case is usually considered as not compatible with the existence of life.

Keeping in mind what was said previously about the local metric which also applies in this strange case, let us point out that in relativity, there are solutions, like the Kerr and Kerr-Newmann space-times [4] , where, although the Minkowskian local signature of the metric remains {-, +, +, +} everywhere, in some regions there may exist simultaneously two global timelike coordinates (in this case t and φ in the spherical coordinates (t , r, θ, φ), generating a metric signature for these coordinates (t, r, θ, φ) of the type {-, +, +, -}.

 If this case is rare, it nevertheless exists, and its impossibility has never been demonstrated. This, pointed out by B. Carter [5], results in a flagrant violation of causality, with all its consequences. There are worldlines between 2 events A and B where A could have been the cause of B and B the cause of A, we can go back in time and many other temporal paradoxes are possible [6].

 However, it should be emphasized that these worldlines are not geodesic, they require an interaction with a phenomenon other than gravitation: for instance, the ejection of matter by a rocket causing an acceleration by reaction.

Thus, according to the definition given of general relativity, we can either consider that these solutions are not to be considered if we consider that only geodesics are described by general relativity [7], or that they are to be considered if one accepts other types of worldlines than the geodesics.

In the latter case, the spacetime of general relativity then serves as a “base” and the local spacetime where non-gravitational phenomena can exist and interact with bodies in spacetime is a “fiber”.

These examples show that the phenomenology described by general relativity is not compatible with the description of a universe with 3 dimensions of space and one of time since, in relativity, time and space are not physical, they are only shadows of spacetime, as stated in Plato’s allegory of the cavern.

Can we avoid an anthropomorphic approach?

This criticism has a more general character, it is certain that we seek to determine if other conditions could give the same phenomena as those which one observes. This implies a great effort to our mind! One is aware of the effort already necessary for understanding the concept of spacetime in relativity which destroyed those of space and time that we supposed inherent to our mind and that of indeterminism in quantum mechanics that ruins the basis of classical physics. Imagining more dimensions would be a step further!

If the weak anthropic argument [8] confirms us on the existence of conditions, (and also specifies limits), allowing to achieve what we observe, which is a truism, it does not say anything about possibilities which would be very different, but which structurally could give something of the same type, in a more or less evolved way.

The universe and its existence, like ours, is a subject where many mysteries will likely remain forever.


[1] In some theories, there are “branes” that have dimensions smaller than that of the space containing them. Here space is taken in the general sense which can contain dimensions of the time type. Let’s not forget the null type dimensions.

[2] If we do not understand very well what a hyper-mass could be in Newtonian mechanics, this does not pose a problem in relativity: The energy-momentum tensor Tμν would be defined for μ, ν varying from 0 to 4. But, let us keep in mind that even though the mathematical formalism is straightforward in relativity, its physical representation and the associated physical tests are problematic.

[3] A detailed description can be found in: http://www.astromontgeron.fr/SR-Penrose.pdf

[4] A rigorous analytical solution was found by Kerr in 1963 to the problem of rotating black holes, well after Schwarzschild’s solution for static black holes which dates from 1916. Note that the problem seemed simple, however, since a rotating black hole is totally defined by 2 parameters: its mass M and its angular momentum J. If the black hole is charged (which is unlikely in cosmology) a third must be added. parameter: the electric charge E. In this case the black hole also has a magnetic moment.

[5] Global Structure of the Kerr family of gravitational fields. Brandon. Carter. Phys. Rev. Vol. 174. Number 5,25 october 1968. A free translation in French is available in: http://www.astromontgeron.fr/A_Carter-68-F.pdf

[6] See a detailed analysis in: http://www.astromontgeron.fr/Trous-noirs-de-Kerr-M2-JF.pdf.

[7] This is the strict definition of the theory of general relativity which deals only with gravity. But, nothing prevents to consider the other hypothesis.

[8] “Argument” is more appropriate than “principle”.