Introduction

On appelle théorie conforme des champs (CFT en anglais) les classes de théories qui sont invariantes par une transformation conforme.

Une transformation conforme est une transformation géométrique qui conserve les angles et le rapport des entités (rapport de longueur par exemple) .

Comme la mesure d’une longueur (en mètres par exemple) n’est pas quelque chose d’intrinsèque, mais un rapport entre la longueur mesurée et une longueur de référence (unité de longueur) qui est conventionnelle, ce qui est trivial, on pourrait penser que les théories conformes sont monnaie courante.

Ce n’est pas le cas manifestement.

Exemples en relativité générale

La relativité générale n’est pas une théorie conforme des champs, dans le cas général.

En relativité générale la métrique est désignée par le ds² (en fait un tenseur bivalent) qu’on représente en géométrie analytique par une forme bilinéaire.

La contrainte CFT est alors que: f(x^µ)ds² = ds², (1)

où f(x^µ) est une fonction qui dépend des coordonnées x^µ, par exemple t, x, y, z.

L’espace-temps relativiste « optique »: CFT

Sous ce vocable on entend que ds² = 0, ce qui correspond aux géodésiques de type nul à savoir celles suivies par les ondes électromagnétiques (dont la lumière d’où son nom). C’est le cas où on ne considère que les géodésiques nulles.

Dans ce cas la relation (1) est trivialement satisfaite, donc une théorie relativiste qui se limiterait à ce cas serait de type CFT.

L’espace-temps relativiste vide: CFT

Dans la solution de Schwarzschild par exemple on ne considère que l’espace à l’extérieur de la masse « centrale » à symétrie sphérique.

Dans ce cas le tenseur de Riemann se réduit au tenseur de Weyl qui est un tenseur invariant par une transformation conforme. Donc on doit penser que cette solution doit aussi satisfaire l’équation (1)

L’espace-temps relativiste du modèle cosmologique standard: pas CFT

Comme cette solution contient de la matière, le tenseur de Riemann ne se réduit pas au tenseur de Weyl et l’équation (1 ) n’est pas satisfaite.

C’est la matière qui brise la conformité CFT.

Autrement dit sans matière la relativité serait une théorie CFT. Ceci permet d’ouvrir une réflexion épistémologique sur les propriétés structurelles et relationnelles de la matière comparativement aux autres fluides cosmiques.

Qu’a la matière de si particulier qui brise le caractère CFT. Est-ce un caractère d’une autre nature qu’il faut traiter différemment?

Similitude structurelle avec la théorie des champs quantiques (QFT)

Comme un terme de masse dans le lagrangien invalidait la pertinence des équations de la théorie des champs quantiques (boson massif de la théorie électrofaible) , pour conserver la cohésion de ces équations on a été amené à imaginer un autre mécanisme pour interpréter la masse (boson de Higgs).

Pour conserver le caractère CFT, doit-on traiter la matière (avec sa masse) par un mécanisme similaire à celui de la QFT en relativité?

Pour conserver le caractère CFT à la relativité générale , ce qui serait très agréable, ne doit-on pas faire quelque chose de similaire: utiliser, comme suggéré précédemment, un mécanisme indépendant pour traiter le cas de la masse?

Cela peut paraître incongru, mais on l’a bien fait pour la QFT!

Dans le formalisme, cela se manifeste par la présence d’une trace non nulle dans les tenseurs

On constate que dans les cas relativistes qui sont de type CFT la trace des tenseurs dans l’équation d’Einstein est nulle.

Elle est nulle pour le tenseur énergie impulsion de l’électromagnétisme et donc pour les autres tenseurs de l’équation, par cohérence de l’équation.

Dans le tenseur de Weyl, on sait que c’est le tenseur de Riemann, où on a enlevé toutes les traces, et par cohérence tous les autres tenseurs de l’équation ont cette propriété.

Mais elle n’est pas nulle pour la matière. Le mécanisme indépendant pour gérer la masse pourrait agir à ce niveau.

Espace-temps anti De Sitter

Cet espace-temps fait partie des solutions à symétrie maximale . Nous savons qu’il y a 3 types de solutions selon le signe de la courbure de l’espace-temps, caractérisée par le scalaire de Ricci. S’il est nul, c’est l’espace-temps de la relativité restreinte qu’on représente souvent par la métrique de Minkowski, s’il est positif c’est l’espace temps de De Sitter décrit sur ce site:

S’il est négatif c’est l’espace-temps anti-de Sitter, voir fichier ci-dessous. Voir une synthèse De Sitter, anti-De Sitter

Correspondance AdS/CFT

Elle peut s’appliquer aux théories, ou cas particulier des théories qui sont de type CFT.

En complément de paragraphe qui y est consacré, dans le paragraphe précédent, on peut consulter les pages 187 à 193 de : https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf