Introduction
A la fin du 20ième siècle, l »étude de la dynamique de l’univers par la mesure de la distance de luminosité des supernovas SN1A a conduit à introduire un paramètre de « répulsion » qu’on a appelé l’énergie noire. La constante cosmologique produisant ce type d’effet elle a été considérée comme une solution possible.
La constante cosmologique résulte d’une condition initiale
On peut considérer que c’est un paramètre résultant de conditions initiales.
En effet, il existe 3 classes d’espace-temps à symétrie maximale (Minkowski à courbure nulle, De Sitter à courbure constante positive et Anti-De Sitter à courbure négative constante). Ces espace-temps , possédant tous 10 symétries, sont considérés comme les états « fondamentaux » des espace-temps physiques que la matière énergie déforme.
On a sélectionné « arbitrairement » l’espace-temps à courbure nulle (Minkowski) dans le modèle cosmologique, mais rien ne l’impose comme condition initiale, ces espace-temps étant « équivalents » en symétrie.
Tous les choix se valent, donc sélectionner l’espace-temps de De Sitter ne réduit en rien la généralité du problème!
Cela propose une solution simple « La condition initiale est un espace-temps de Sitter ». [1]
Si cela est le cas, peut-on associer à cette propriété « géométrique » une phénoménologie de type physique dans l’univers qui la caractérise et qui permettrait donner corps à cette hypothèse? Dans ce cas, la force de Planck, lien dimensionnel entre les grandeurs géométriques et les grandeurs physiques, qui figure dans l’équation d’Einstein, devrait être impliquée (voir les rappels).
L’énergie du vide
Une solution envisagée pour cette justification physique est ce qu’on appelle « l’énergie du vide » résultant des créations /annihilations de paires particules/antiparticules localement.
Mais un calcul, qui suppose que ce qui est vrai au niveau local l’est au niveau de l’univers global, donne un résultat, pour la « constante cosmologique » équivalente, différent d’ un facteur de 10122 par rapport à la valeur mesurée de la constante cosmologique qui produit l’accélération qu’on constate.
En se référant à l’article sur la force de Planck, et en la considérant comme une constante de la physique (c’est cette constante dimensionnée qui intervient dans l’équation d’Einstein pour assurer son homogénéité) nous avons montré, par des arguments « dimensionnels » que ce facteur de 10 122 résulte, très précisément de la différence d’échelle entre l’échelle de Planck et l’échelle de l’univers (cela est rappelé dans les rappels qui suivent de cette page).
A t’on le droit d’attribuer à l’univers dans sa globalité les propriétés au niveau local?
De la remarque précédente on est en droit de se poser la question puisque l’écart gigantesque correspond exactement à l’écart gigantesque d’échelle (voir les rappels qui suivent). Ce qui réhabiliterait cette hypothèse d’énergie du vide.
La question qui se pose est donc, comment se combinent les phénomènes locaux pour produire un effet global.
Nous avons proposé des arguments dimensionnels (voir les rappels), mais comme les arguments dimensionnels, s’ils ont une valeur heuristique, ne sont pas des arguments scientifiques, une justification scientifique de ce facteur de 10122 doit être proposée.
Argument statistique
On ne doit pas attribuer à l’univers entier la densité d’ énergie locale, mais considérer les fluctuations locales comme des variables aléatoires indépendantes (de type spinoriel ou vectoriel?) suivant une loi de Poisson dont la composition et la combinaison va produire une loi normale au niveau de l’univers dont les paramètres sont ceux de l’univers.
Comme souligné précédemment, la force de Planck devrait être impliquée dans ce procédé de mise en relation entre géométrie et physique, c’est pourquoi nous l’avons pris en compte dans les rappels!
Argument « théorie des champs quantiques »
A l’instar de la théorie quantique des champs, on peut imaginer que le calcul des intégrales des chemins pour le phénomène global résultant au niveau de l’univers, à l’échelle de l’univers peut avoir comme effet de produire cette réduction drastique de la valeur de la constante cosmologique qu’on attribue au phénomène. Ceci est cité comme hypothèse plausible, mais le calcul correspondant dépasse le cadre de cet exposé.
Rappels
Rappel: longueur de Planck, temps de Planck et masse de Planck
La longueur de Planck, le temps de Planck et le temps de Planck seront définis à partir des constantes fondamentales de la physique qui sont la vitesse de la lumière notée c, la constante gravitationnelle notée G et la constante de Planck notée h, [2] en utilisant des arguments dimensionnels. Dans le système MKS, leurs valeurs sont :
c = 299 792 458 m s–1,
G ≈ 6,674 30 × 10−11 m3 kg− 1 s− 2,
h ≈ 6,626 070 040 × 10−34 kg m2s− 1
h ≈ 1,054 571 800 × 10−34 kg m2 s− 1
Pour c, c’est une valeur exacte (par définition), les autres sont des valeurs mesurées donc des valeurs approchées, la valeur de toutes ces constantes n’est pas prédite par la théorie, elles sont appelées paramètres libres [3]. Les dimensions de ces constantes sont répertoriées.
La longueur de Planck lP sera donc définie par le produit le plus simple de ces constantes qui a la dimension d’une longueur, pour le temps tP et la masse de Planck mP, c’est le même principe mais pour un temps et une masse. Cela donne :
mP = (hc / G) 1/2 ≈ 2177,10 -8 kg,
tP = (hG / c5) 1/2 ≈5 391,10-44 s
lP = c.tP = (hG / c3) 1/2 ≈1,616.10 -35m,
Nous pouvons vérifier que ces valeurs ont la bonne dimension et avec les valeurs des constantes c, G, h, dans le système MKS, que leurs valeurs sont correctes.
Rappel: force de Planck
En utilisant la loi f = m γ, où f est la force appliquée à la masse m et γ l’accélération résultante, en utilisant les valeurs de Planck pour les opérandes, on obtient,
fP = mP γP,
avec,
γP = lP / (tP ²) → fP = c4 / G ≈1.21. 1044 Newtons (m.kg.s– 2)
Cette valeur énorme est indépendante de la valeur de la constante de Planck ! En d’autres termes, quelle que soit la valeur de h, on obtient ce résultat ! La force de Planck est un invariant de la physique que l’on retrouvera également dans d’autres phénomènes, tels que :
Rappel: invariance de la force de Planck appliquée à l’univers. Masse estimée de l’univers
Ce facteur c4 / G semble jouer un rôle général. Puisque cette force « Planck » est indépendante de la valeur de la constante de Planck, considérons la valeur d’une constante de Planck modifiée, notée hu, (h univers) où « la masse de Planck modifiée » serait égale à celle de l’univers.
Les données actuelles attribuent une masse d’environ cent milliards (1011) de masses solaires à notre galaxie et le nombre de galaxies est estimé à environ 1000 milliards, 1012 (ces chiffres sont récents, les chiffres antérieurs ont été révisés à la hausse).
Avec 1012 galaxies de 1011 masses solaires et une masse solaire de ≈ 2.1030kg, nous obtenons :
Masse de l’univers = Mu ≈ 2.1053 kg.
Bien entendu cette valeur ne peut être que considérée que comme un ordre de grandeur, car nous ne connaissons pas, précisément, la masse de l’univers. Comme la masse de Planck, (mP ≈ 2 .10-8 kg), il faut multiplier par un facteur K ≈ 1061, pour obtenir la masse de l’univers avec la formule donnant la masse de Planck. Comme dans la définition de la masse de Planck, c’est sa racine carrée qui est impliquée, la constante hu à utiliser, à la place de la constante de Planck h, est telle que :
hu ≈ 10122 h.
Rappel: énergie du vide et constante cosmologique
Pour expliquer l’accélération de l’expansion de l’univers, on a introduit le concept d’énergie noire. Une solution mathématique pour l’énergie noire est la constante cosmologique. Comme l’énergie du vide produit une phénoménologie de ce type (répulsion) on a pensé qu’elle pourrait fournir une explication physique à cette constante cosmologique. Cette hypothèse a été écartée en raison d’un énorme écart (autour de 10122) entre la valeur calculée de la constante cosmologique résultant de l’énergie du vide et sa valeur actuelle, mesurée par les cosmologistes.
Rappelons que le vide, considéré comme un champ quantique (solution de type oscillateurs harmoniques), de valeur d’énergie minimale E = h.c/(2.l) dans un volume l3, fait débat. Même en imposant que la longueur l soit supérieure à la longueur de Planck , cela donne une énergie par m3 d’environ 10113 Joules ce qui est énorme dont on a du mal à donner une signification physique. Si la cosmologie moderne est une application de la théorie de la relativité où on peut modéliser par une constante (constante cosmologique) dans l’équation d’Einstein, un fluide, non quantique, qui a les propriétés du vide, elle n’explique rien au niveau de sa nature physique.
Mais, poursuivant notre analyse dimensionnelle, l’énergie du vide doit être calculée non pas avec la constante physique de Planck h mais avec hu,où c’est l’univers qui donne l’échelle, qui introduit le facteur 10122.
Rappel: évaluation de la constante cosmologique en analyse dimensionnelle
La dimension de la constante cosmologique étant [L]-2 (inverse d’une longueur au carré) cela peut s’obtenir en calculant (T.c)-2, ou T est l’âge de l’univers et c la vitesse de la lumière.
Le calcul avec un âge de 13,7 milliards d’années donne une valeur de 0.6 10-52 m-2, à comparer avec la valeur mesurée de 1.088 10-52.
Notons que ce calcul est plus significatif que ceux utilisant la masse, car l’âge de l’univers est mieux connu que sa masse. Cette valeur sous-évaluée s’explique par le fait que dans notre analyse dimensionnelle nous ne prenons pas en compte la matière (baryonique et noire) dont l’effet, contraire à celui de la constante cosmologique, est de ralentir l’expansion. La valeur obtenue par l’analyse dimensionnelle correspond à une phénoménologie qui serait seulement due à la constante cosmologique. Elle est donc sous- évaluée, car en ne prenant pas en compte l’effet contraire de la matière.
Nous constatons que l’énergie du vide, ainsi évaluée, rend compte, en ordre de grandeur, de l’énergie noire constatée et de la valeur de la constante cosmologique associée.
Confirmation du calcul de la constante cosmologique avec la 2ième loi de Newton.
En utilisant la loi: fplanck = M.γ , où M est la masse de l’univers, et γ l’accélération associée à la force de Planck on obtient:
γ = 0.6 x 10-9 m/sec²
En convertissant, par analyse dimensionnelle, λ, constante cosmologique [L] -2 pour obtenir une accélération [L][T]-2 , à l’échelle de l’univers, il faut la multiplier par c3 et par t =âge de l’univers (en secondes).
γ = λ. c3 .t (âge de l’univers). –> λ =. c-3 .t-1 γ-1
Le calcul montre qu’on obtient la même valeur .Ce résultat est obtenu par deux méthodes différentes, ce qui est intéressant.
Ajoutons, que si on est capable de mesurer ces valeurs précisément cela nous donnerait une valeur plus réaliste de la masse de l’univers, puisqu’elles en dépendent.
La constante cosmologique dépend-elle du temps?
Cette dernière équation montre, par contre, que la valeur de la constante cosmologique dépend de l’âge de l’univers, ce qui semble contradictoire avec sa définition.
Mais peut-être que le phénomène physique à l’œuvre dans l’accélération de l’univers, qui nous apparaît comme une constante cosmologique, n’en n’est pas une, d’autant que s’il s’agit d’une énergie du vide, il n’est pas inconcevable qu’elle dépende du temps.
Plusieurs hypothèses en ce sens sont examinées par les scientifiques en ce moment. L’intérêt de la méthode proposée sur ce site, en s’appuyant sur la force de Planck, est qu’elle présente une solution au problème du désaccord sur la valeur de la constante de Hubble par les différentes méthodes.
Le document sur la mesure de la constante de Hubble accessible sur la page d’accueil (Hubble constant problem) en donne une illustration.
Rappelons que l’âge de l’univers est lié à une description particulière de la cosmologie et ne traduit que la valeur d’un passé par rapport à notre présent, dans un système de coordonnées (Robetson-Walker) où, de plus, le temps (dit temps cosmologique) n’est pas le nôtre.
Rappelons aussi que l’univers, en relativité, est un espace-temps, où la notion d’âge de cet espace-temps n’a pas de sens physique
Il est constructif d’explorer la voie qu’ouvre la force de Planck, en gardant à l’esprit qu’elle repose sur des arguments dimensionnels, ce qui a, au moins, l’avantage d’alimenter une réflexion sur le sujet….
Justification de la pertinence physique du changement d’échelle.
D’un point de vue physique cette proposition peut être étayée par des considérations statistiques. On peut découper l’univers en cellules microscopiques. Au niveau d’une cellule microscopique l’état du vide qui subit des fluctuations liées au processus de création/annihilation de paires particule-antiparticules peut être représenté par une variable aléatoire gouvernée par une loi statistique, de Poisson par exemple. Dans tous les points du vide de l’univers les variables aléatoires associées à ces micro-cellules sont indépendantes.
La statistique nous dit que la courbe de distribution de la variable aléatoire de l’état du vide résultant de toutes ces variables aléatoire à l’échelle de l’univers est une variable aléatoire qui tend, quelle que soit la loi statistique au niveau microscopique, vers une loi de distribution normale (gaussienne) dont les paramètres, moyenne et variance, se calculent à partir des lois microscopique et de la configuration de l’univers en termes microscopiques.
Dans ces conditions, une énergie du vide à une échelle de l’univers a un sens physique et cette hypothèse peut être envisagée.
Longueur de Planck et temps de Planck à l’échelle de l’univers.
Pour calculer la longueur L et le temps T associés à l’échelle de l’univers, avec la même « force de Planck », les valeurs de l’échelle de Planck doivent être multipliées par:
K ≈ 1061.
En appliquant ceci, nous obtenons [4] :
L ≈ lP x 1061 ≈ 1,6 10-35 x1061 m ≈1, 6 x 1026 m ≈1,7 1010 al : 17 milliards d’années-lumière.
T = tP x 1061 ≈ 5,4 10-44 x 1061s ≈5,4 x 1017 s ≈1,7 x 1010 ans. Cela fait 17 milliards d’années.
Compte tenu des inexactitudes dans les estimations de la masse de l’univers, on voit que l’on obtient des chiffres qui sont de l’ordre de grandeur de ce qui est adopté aujourd’hui.
A l’inverse, pour obtenir les chiffres corrects, il suffirait de corriger la masse de l’univers où, par exemple, le nombre de galaxies serait estimé à 800 milliards, au lieu de 1000 milliards.
Notes
[1] Cette solution, pour l’espace-temps décrivant l’univers, proposée par De Sitter en 1918 est souvent considérée comme un « univers en expansion exponentielle, au motif que si on considère 2 points ils s’éloignent l’un de l’autre au « cours du temps. En fait c’est une interprétation de type newtonien où temps et espace sont considérés comme les entités fondamentales physiques alors qu’en relativité seul l’espace-temps est physique. L’espace-temps de De Sitter est modélisé par une variété à courbure spatio-temporelle constante, positive, certainement pas en expansion. Cette expansion est une propriété « interne » à la variété qu’on peut observer dans la phénoménologie résultant d »un feuilletage particulier.
En fait , la phénoménologie spatio-temporelle est que si on considère 2 points A et B décrivant des géodésiques de même paramètres affines ,sur la variété, la distance « spatiale dans ce feuilletage » varie (augmente dans le sens du paramètre affine « à caractère temporel » dans ce feuilletage.
Comme il est très difficile, voire impossible, de nous représenter cette phénoménologie quadridimensionnelle spatio-temporelle, en suivant ce qui a été proposé dans « Flatland », cela peut être illustré dans sur la variété à 2 dimensions qu’est la 2-sphère en imaginant comment des êtres à 2 dimensions, sur la surface de la 2-sphère percevraient le phénomène.
On voit que l’arc de petit cercle, à latitude constante, GM est moins « long » que l’arc de petit cercle , à latitude constante, G’ M’.
Les méridiens sont les géodésiques de la géométrie (grands cercles) où le paramètre affine est la « latitude », que nous assimilerons au temps pour illustrer notre exemple, et les petits cercles (unidimensionnels, des lignes) sont les sections spatiales à latitude (temps) constante sur la variété.
Deux êtres plats, assujettis à appartenir à la surface de la 2-sphère, (comme une ombre), l’un en G et l’autre en M, suivant pour l’un la géodésique GG’ et MM’ pour l’autre verraient leur distance « spatiale » augmenter de GM à G’M’.
Ils en déduiraient que quand ils suivent les géodésiques, dans le sens où la latitude (le temps) augmente dans l’exemple, l’espace (ici unidimensionnel, une ligne, l’arc de petit cercle dans cette description), se dilate.
Notons que passé l’équateur, la distance spatiale re-diminuerait.
Mais comme cette exemple l’illustre, « l’expansion » ne concerne pas la variété (la 2 sphère). C’est une propriété géométrique de cette variété , interprétée selon certaines conventions.
Ceci était destiné à illustrer le type de phénoménologie en œuvre qui se transpose formellement à l’espace de De Sitter qu’il est « difficile voire impossible » de représenter graphiquement.
[2] h = h / 2π, à la place de h, est souvent utilisé, car la pulsation angulaire θ / s est plus pratique que la fréquence en physique. Le facteur 2π résulte du fait que 1 Herz est égal à 2π radians / seconde.
[3] Soulignons que la valeur des constantes G et c n’est pas prédite par la théorie. Ce sont ce que nous appelons des « paramètres libres ». La valeur exacte de c résulte d’une convention permettant de définir les unités de longueur et de temps ! Pour la constante h, également imprévisible (donc libre), la relation E = h.f, où f est la fréquence d’un photon et E son énergie permet de mesurer sa valeur. La constante h, introduite pour la première fois en physique pour le rayonnement du corps noir (voir un autre article sur le site), est omniprésente en mécanique quantique.
[4] Dans une année, il y a 3600x 24x 365 ≈ 3.15 107 secondes et dans une année-lumière 9.45 1015 mètres.