La nature des mathématiques.
Les mathématiques ont une réalité intrinsèque. 1
Les mathématiques sont un pur produit de notre entendement 1
Une abstraction en appelle une autre jusqu’à en faire un objet d’étude en soi 2
Quelle ressemblance avec la théorie des ensembles ! 2
Introduction
Une différence essentielle entre la physique et les mathématiques est que la physique doit « rendre des comptes à l’expérience », ce qui n’est pas le cas des mathématiques.
Cette propriété des mathématiques conduit au débat de leur existence, en dehors, de toute conscience humaine, débat dont on peut trouver une illustration dans le livre « Matière à penser » entre un mathématicien, A. Connes, médaille Fields, et un célèbre neurophysicien : JP Changeux.
Les mathématiques ont une réalité intrinsèque
Alain Connes, dans une approche Platonicienne, soutient que les mathématiques ont une réalité propre indépendante de toute conscience humaine : elles existeraient, même en l’absence d’une conscience. Nous découvrons cette réalité au fur et à mesure que notre connaissance progresse.
Les mathématiques appartiennent alors au monde des idées de Platon. Elles appartiennent aux archétypes parfaits de toute chose, (l’essence qui précède l’existence) dont notre perception, dans le monde sensible, est imparfaite et incomplète.
Cette approche, reconnaissant une activité indépendante de notre existence, a un caractère divin. Le divin permet la relation des mathématiques avec l’intelligence humaine et le caractère opératoire de l’apprentissage des mathématiques est alors éducatif : Cette relation forme et structure notre esprit au fur et à mesure que notre découverte de cette réalité progresse. Nous qualifierons cette position d’essentialiste.
Les mathématiques sont un pur produit de notre entendement
Présentation du problème
JP Changeux, dans une approche existentialiste, suppose que c’est une pure création de notre esprit, une partie structurante de notre activité cérébrale motivée par le besoin de nous adapter au monde extérieur. A ce titre elle est aussi évolutive, mais sous contrainte du monde physique extérieur. Nous qualifierons cette position d’existentialiste.
Pour illustrer cela, considérons comment les premiers humains ont pu créer les mathématiques. Nul doute qu’ils observaient une pluralité d’objets semblables ou similaires et qu’ils réalisaient qu’on pouvait, indépendamment de la nature de ces objets, attacher à cette collection d’objets une entité, le nombre d’éléments, concept qui contient un part d’abstraction, car n’étant pas une propriété intrinsèque de ces objets ni d’un autre.
Le mécanisme d’abstraction
On peut se demander, par quel mécanisme cérébral cet capacité d’abstraction est permise.
C’est sans doute la structure des réseaux neuronaux qui est la clé de la solution.
On sait que ce mécanisme, en plus d’être capable de traiter un problème par des relations adaptatives est aussi capable d’élaborer d’autres informations comme la corrélation avec d’autres données qu’il possède, ce qui lui permet, par exemple, de répondre à un problème qui ne lui a jamais été posé, de manière meilleure qu’une réponse aléatoire si un problème « structurellement » similaire lui a déjà été posé.
C’est cet atout remarquable qu’on tente d’imiter dans ce qu’on appelle l’intelligence artificielle.
Ceci est révélateur de sa capacité d’extraire de l’information sur la structure des relations adaptatives, résultant d’une connaissance de prime abord empirique, qu’il a établies dans sa relation avec le monde extérieur et c’est cela qu’on peut appeler sa capacité « d’abstraction » !
Une abstraction en appelle une autre jusqu’à en faire un objet d’étude en soi
Par une abstraction suivante, on pouvait noter que ce nombre, se rapportait aussi à d’autres objets de natures différentes voire à une collection d’objets disparates.
Les notions d’addition, de soustraction allaient naturellement s’ensuivre puisqu’on pouvait enrichir les collections en en réunissant plusieurs ou les appauvrir par le mécanisme inverse.
La division allait émerger du partage d’une collection entre des individus et la multiplication en tant qu’opération inverse.
D’autres abstractions vont émerger d’autres besoins, puis un moment va arriver où ces abstractions vont se « nourrir d’elles-mêmes », se prendre comme objet d’étude, et l’activité mathématique devenir une activité qu’on pourrait qualifier indépendante des nécessités et vicissitudes matérielles.
Quelle ressemblance avec la théorie des ensembles !
Il n’aura échappé à personne que ce que nous venons de décrire ressemble à la théorie des ensembles.
Mais il n’est pas surprenant que lorsqu’on cherche à fonder les mathématiques, on ne peut éviter de se référer aux fondamentaux de notre entendement.
Quant aux fondations des mathématiques encore plus récentes (Grothendieck) elles vont encore aller plus loin dans la pureté et le dépouillement des fondamentaux mis en œuvre !
La quête des fondements de notre pensée
Comme dans d’autres disciplines, par exemple la mécanique quantique, la recherche de la nature ultime des choses nous ramène toujours à nous-mêmes.
Ceci n’est pas fortuit, car rappelons, que nous sommes un assemblage matériel d’atomes, certes très spécifique et très bien adapté au milieu, où c’est la structure d’arrangement de ces atomes qui est la valeur « ajoutée » à la matière inerte.
On conçoit que, lorsque cette structure (notre pensée) veut aller au fond ultime structurel des choses, ce qu’elle y découvre, c’est quelque chose qui doit être corrélé à la structure de notre pensée.
Imaginer qu’une structure puisse elle-même se reconnaître totalement, semble possible, seulement, par un procédé invoquant une méta-structure (révélant cette identité) , du moins c’est ce que notre esprit, avec sa logique usuelle, semble nous imposer. Mais alors, cette méta-structure qui serait émergente de cette structure, d’où vient-elle et ainsi de suite?
On semble s’enliser dans une série infinie d’inclusions de méta-structures.
La conscience, clé de la solution?
Le phénomène de conscience d’exister, conscience d’être une identité « le moi » qui est un rapport d’un être à lui même (le sujet est aussi objet et vice-versa), dont la nature émergente est avérée semble être de nature à briser cette chaîne de méta structure. Il est constaté, mais sa nature de méta-structure échappe à notre entendement car elle ne peut par s’exprimer en termes de relations logiques entre objets et sujets, dans notre esprit.
Le croyant lui attribue une nature divine, le non-croyant la constate et lui attribue une nature transcendantale.
Ces considérations ne sont pas une preuve que les mathématiques sont une production humaine, mais elles montrent comment notre entendement y est impliqué.
Conclusion
Cette présentation ne donne qu’un aperçu du sujet et, la philosophie n’étant pas une science, nous ne trancherons pas, car si le platonicien essentialiste ne peut pas prouver que le mondes idées existe, l’existentialiste ne peut pas prouver qu’il n’existe pas !