L’équation d’Einstein
Après avoir fondé et établi les équations de la mécanique et de l’électromagnétisme pour la relativité restreinte en 1905, dès 1907, Einstein va tenter de les adapter au cas de la gravitation. Il commencera par tenter une approche s’appuyant sur le principe d’équivalence, au motif que cela lui paraissait « plus simple ». Ses tentatives de définir un potentiel scalaire adapté au cas de la gravitation « relativiste » aboutissaient à des violations des principes de la physique et ses corrections et adaptations pour corriger ce problème menaient à d’autres impasses.
Il faudra attendre 1913 (Entwurf) pour qu’Einstein (plutôt bien inspiré), aidé par son ami Grossman pour la partie purement mathématique, envisage une nouvelle approche utilisant les géométries non-euclidiennes. Il faudra encore plus de 2 ans pour qu’il surmonte des difficultés, (argument du « trou », cohérence avec la mécanique newtonienne en champ faible et lentement variable, prise de conscience que les coordonnées n’ont pas de caractère physique), pour qu’il parvienne laborieusement à la solution correcte ?
Pour une description très documenté de sa démarche, voir [1].
Quelle est la signification de l’équation d’Einstein ?
Cette équation qui s’écrit :
Où Gµν = Rµν – ½ R gµν est le tenseur d’Einstein,
Rµν est tenseur de Ricci qui est la contraction du tenseur de Riemann, R le scalaire de Ricci qui est la contraction de tenseur de Ricci, Le terme gµν est le tenseur métrique. Tµν est le tenseur énergie-impulsion qui caractérise la présence d’éléments physiques (matière, rayonnement, etc.), par leur impulsion-énergie.
La lettre κ représente une constante dimensionnée pour assurer l’homogénéité de l’équation.
En effet, le membre de gauche de l’équation représente un objet géométrique (mathématique), purement formel, alors que celui de droite représente un objet physique, la matière, le rayonnement par exemple, avec son énergie et l’impulsion, en général appelée génériquement matière-énergie.
Ce terme « de couplage » va donc nous révéler comment le concret (la matière-énergie) agit sur l’abstrait (la géométrie) et vice-versa. Au-delà d’assurer la pure homogénéité de l’équation, ce qui est une exigence mathématique, la nature de κ va nous révéler la nature physique de cette constante de couplage.
Equation d’Einstein et équations de la gravitation newtonienne
La relativité générale est une théorie de la gravitation qui, au niveau conceptuel, est une évolution transcendante de la mécanique classique, comme Bachelard l’a souligné. [2]
Malgré les apparences elle est conceptuellement beaucoup plus simple, car plus synthétique que la mécanique newtonienne pour la gravitation.
Là, où la mécanique newtonienne nécessite un espace tridimensionnel de fond (euclidien) et un temps absolu, un concept de force (à distance assez mystérieux) qui dérive d’un potentiel gravitationnel, un jeu de 2 équations (une pour la conservation de l’énergie et l’autre du moment angulaire), pour définir les trajectoires (les géodésiques) des objets soumis à la gravitation, lesquelles géodésiques ne sont pas, en général, les géodésiques de l’espace euclidien (où les géodésiques sont des droites), la relativité générale résout tout cela synthétiquement, en une seule équation, en utilisant le concept d’espace-temps, au lieu de celui d’espace et de temps indépendants.
En mécanique newtonienne, une masse M en un point P se couple par sa masse gravitationnelle passive[3] avec le potentiel défini par l’ensemble des autres masses gravitationnelle actives. Ce potentiel est la somme des potentiels générés par ces autres masses gravitationnelles actives en ce point. Curieusement le potentiel créé par la propre masse (active) M n’intervient pas dans ce processus.
En relativité générale, toutes les masses contribuent à définir la géométrie de l’espace-temps et en retour, toutes les masses se couplent à cet espace-temps qu’elles ont toutes contribué à définir, en suivant les géodésiques de l’espace-temps de cette géométrie.
En fait, la finalité de cette équation d’Einstein, en définissant la géométrie de l’espace-temps, est de définir toutes les géodésiques de cette géométrie. Ainsi, elle définit la dynamique, ce qui est bien la finalité de telles équations, quelle que soit la théorie utilisée. L’anomalie de la mécanique newtonienne précédemment décrite n’existe donc pas en relativité générale, toutes les masses sont prises en compte pour la phénoménologie.
La force de Planck, une constante de la physique ?
Nous avons décrit comment cette force pouvait être définie et où elle intervenait dans un autre article [4]
La valeur de κ est 8πG/c4.
Avec cette valeur l’équation d’Einstein s’écrit :
En rappelant que la définition de la force de Planck FP est :
FP = c4/G
L’équation d’Einstein s’écrit :
FP/4Gµν = 2π Tµν
Au-delà, d’assurer l’homogénéité de l‘équation, ce qui ne porte que sur des attributs dimensionnels, sans valeurs quantitatives, le point conceptuel fondamental est que c’est cette force de Planck, avec sa valeur quantitative, est le médiateur entre la géométrie et la matière, ceci en fait une constante de la physique, dont il convient d’approfondir la portée.
En particulier cette constante dont la dimension est une force nous renseigne sur la nature physique, avec sa matière-impulsion-énergie de l’espace-temps puisque s’appliquant sur un objet géométrique formel, c’est elle qui confère à l’espace-temps physique ses attributs physiques.
Sa présence, qui pouvait paraître inopinée, dans de nombreuses équations de la relativité générale, s’explique alors. C’est à la lumière de cette constante qu’on peut déduire certaines propriétés physiques de cet espace-temps, comme cela a été fait dans l’article cité dans la note 4 où, elle sert de guide directeur pour proposer une interprétation des solutions de la relativité générale A suivre…
[1] Einstein, œuvres choisies Relativités 2, F. Balibar : https://www.cnrseditions.fr/catalogue/physique-et-astrophysique/03-francoise-balibar/
[2] Le nouvel esprit scientifique : https://gastonbachelard.org/le-nouvel-esprit-scientifique/
[3] En gravitation newtonienne, une masse se décline en 3 caractères : masse inertielle, masse gravitationnelle active (qui génère le champ gravitationnel), masse gravitationnelle passive (qui se couple au champ gravitationnel présent au point où se situe la masse). Chaque masse possède les 3 caractères et ces trois masses qui sont proportionnelles sont égales par définition.
[4] Voir : https://vous-avez-dit-bigbang.fr/?page_id=452. Voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_Planck