Espace-temps. Coordonnées: celles de type nul, conduisent à un nouveau paradigme. Géodésiques principales nulles. Quelle réalité physique révélée? Mise à jour 3/11/21

Espace-temps: Qu’est-ce qu’il n’est pas ?

En relativité, l’espace-temps, contrairement à ce que son nom semble indiquer, n’est pas une concaténation de l’espace et du temps, pas plus qu’un mélange ou une composition d’espace et de temps, pour la raison très simple, qu’en relativité, le temps et l’espace ne sont pas des entités physiques (des ombres de l’espace-temps selon Minkowski). Ainsi, quand on décrit, en langage newtonien, l’espace-temps comme quelque chose dans toute son extension spatiale et temporelle, ce ne peut être qu’une évocation, qui n’est pas strictement correcte, car on ne peut décrire une entité physique par des entités qui ne le sont pas (les ombres).

Espace-temps: Un nouvel élément fondamental dépositaire de la réalité physique

Le concept d’espace-temps, est une entité indivisible, seul capable de représenter la « réalité physique » réduisant l’espace et le temps à n’en donner que des ombres, comme Minkowski (1907, se référant sans doute à l’allégorie de la caverne de Platon, l’avait déclaré à propos de la relativité restreinte, ce qui demeure vrai en relativité générale. Par réalité physique, on entend qu’il y aura un accord par tous les observateurs, quels qu’ils soient, sur la nature et les paramètres du phénomène observé.

Ce qui caractérise le mieux l’espace-temps c’est la nature des géodésiques de type nul (celles suivies par la lumière), ce qui n’est pas étonnant puisque ce sont les seules qui satisfont à la contrainte de célérité limite (maximale) qui est la contrainte qui confère à l’espace-temps sa structure hyperbolique. Notons que leur “temps” propre est nul (d’où leur nom) et qu’elles sont toujours géodésiques, alors que pour les autres géodésiques et lignes d’univers, pas nécessairement géodésiques, (type temps ou de type espace), ce critère n’est pas satisfait.

Il peut paraître, alors, étonnant que, lorsqu’on définit une métrique, on s’attache à la décrire avec une coordonnée de type temps et trois d’espace et non pas avec des coordonnées nulles. Ceci est dû à une survivance de la pensée newtonienne, où temps et espace sont des données immédiates de notre pensée, pour expliciter sa signification.

On reproche à la représentation par des coordonnées nulles que la géodésique lumière n’est pas un référentiel pouvant être balisé en temps et espace. Si cette notion de référentiel a pu être utile aux balbutiements de la relativité avec les transformations de Lorentz, elle n’a rien d’indispensable.

Les coordonnées sont arbitraires et par des transformations de coordonnées on peut passer d’une représentation à une autre. Le formalisme (tétradique) de Newmann-Penrose, évoqué ci-après, en donne un excellente illustration et montre son intérêt. On trouvera des articles exposant plus en détail l’intérêt des géodésiques nulles en:

http://astromontgeron.fr/s%C3%A9minaire-maths-philo_2019.pdf

http://astromontgeron.fr/SR-Penrose.pdf

L’explication phénoménologique proposée par la métrique avec une coordonnée de type temps et trois d’espace est biaisée, ce qui peut expliquer qu’on ait du mal à la comprendre.

Bachelard, dans le nouvel esprit scientifique soulignait que la relativité ne peut pas se réduire à la mécanique newtonienne et que leur comparaison en champ faible ne pouvait se faire qu’au prix de mutilations de la théorie de la relativité!

La métrique avec coordonnées nulles, plus difficile à interpréter, est plus profondément et structurellement liée au phénomène, ce qui se manifeste concrètement par une plus grande simplicité dans l’exposé des résultats comme cela sera évoqué ci-après.

Qu’appelle-t-on réalité physique: Un exemple

Par exemple, supposons qu’on observe deux explosions d’étoiles (supernovas) dans l’univers. C’est un événement qui a un caractère physique propre indépendant de la manière dont il peut être observé.

Différents observateurs mesureront des distances, toutes différentes d1, d2, …dn, entre elles, et mesureront conjointement des intervalles de temps t1, t2, .ti,..tn, entre leur explosions, tous différents.

Mais si chacun calcule l’intervalle d’espace-temps si entre les deux explosions, à partir de ses propres données di, ti, alors ils vont trouver le même résultat (s1 = s2 =..si = ..sn = s). C’est cette isomorphie d’unicité, qui confère à l’espace-temps le statut de représentation de la réalité physique.

Pourquoi ne sommes nous pas familiers avec l’espace-temps

C’est ce concept d’espace-temps, probablement le plus difficile à se représenter, qui a donné le plus de mal aux scientifiques dans le cheminement des idées à propos de la relativité.

Les concepts de temps et d’espace, considérés en général comme des données immédiates de notre conscience, sont si ancrées dans nos structures mentales et habitudes de pensées, fondées sur notre expérience, qu’il est difficile de s’en détacher quand on traite des problèmes relatifs à l’espace-temps. En effet, dans notre environnement humain et terrestre, les effets spécifiques de l’espace-temps sont si infimes qu’il est difficile de le distinguer de ses ombres !

L’espace-temps synthétise en une entité l’espace, le temps et le mouvement

En effet, par exemple, l’équation d’Einstein définit l’univers par un espace-temps, qu’on modélise par sa géométrie, qui contient ces trois éléments dans les géodésiques.

Que reste-t-il du temps et de l’espace: Les coordonnées.

Au vu de ce qui est dit précédemment, on pourrait supposer, pas grand chose ! On va retrouver l’espace et le temps dans les coordonnées permettant de définir la métrique de l’espace-temps (ce qui permet de calculer l’intervalle d’espace-temps). Bien entendu ces coordonnées sont arbitraires et à ce titre on ne peut pas leur prêter de caractère physique, ce qui a été un traumatisme pour bien des scientifiques au début du vingtième siècle. L’espace et le temps ne servent que d’intermédiaires dans ce calcul. En fait on peut s’en passer en utilisant ce qu’on appelle des coordonnées nulles qui ont un caractère spatio-temporel et qui en général simplifient les calculs, du moins dans certains cas.

Notons qu’au début de la relativité restreinte on a tenté de sauver ces concepts par des artifices, comme la synchronisation de référentiels galiléens mais que cela ne s’appliquait qu’à un seul référentiel. Bien qu’il y ait des transformations de Lorentz pour traiter un cas plus général, cela devenait assez complexe et la relativité générale a sonné le glas de la méthode.

Le formalisme de Newmann-Penrose

Newmann et Penrose ont développé un formalisme utilisant une base locale (formalisme des tétrades) de vecteurs nuls qui d’ailleurs conduisent à une structure locale de l’espace-temps de type spinoriel. Comme la relativité générale est de type tensoriel cela conduit à un formalisme assez complexe spino-tensoriel mais qui au vu de l’efficacité du procédé peut bien refléter la structure intime de l’espace-temps.

Le formalisme tétradique, utilisé en relativité générale repose, en général, sur une base orthonormée pour définir l’espace-temps local qui est celui de la relativité restreinte. La relativité restreinte est généralement définie en coordonnées de Minkowski (t, x, y, z), dans un référentiel galiléen, où sont également définis les trajets des rayons lumineux.

 En rupture avec ce point de vue, nous proposons, par un nouveau paradigme, d’inverser le procédé en utilisant une base de vecteurs nuls associés à des coordonnées nulles, adaptées aux chemins lumineux, comme référence en relativité restreinte au lieu de celles de Minkowski qui sont, en fait, un vestige de l’héritage de la mécanique newtonienne. Ceci est motivé par plusieurs raisons (corrélées).

Premièrement, comme c’est le fait de l’existence d’une vitesse « maximale » associée à la vitesse de la lumière qui implique la structure hyperbolique de l’espace-temps, les informations relatives à cette structure particulière de l’espace-temps devraient être inclues dans la nature des géodésiques suivies par la lumière, les rendant plus appropriés à la compréhension de l’espace-temps hyperbolique.

Deuxièmement, comme le nombre de référentiels galiléens différents est infini et qu’ils sont tous équivalents, le choix d’un d’entre eux est arbitraire, alors que le fait que la célérité de la lumière soit la même dans tous, la rend unique, donc non arbitraire.

On objecte souvent qu’un repère dont la base est constituée de vecteurs nuls n’est pas un « référentiel » galiléen synchronisable comme l’est un repère minkowskien. Mais cette « contrainte », héritée de l’analyse newtonienne, si elle est agréable à notre esprit n’a non seulement rien d’obligatoire mais ne peut que nous égarer en nous maintenant dans nos habitudes.

Comme les relations et les transformations entre une base minkowskienne et une base nulle ne posent aucun problème, un résultat acquis dans une base nulle peut être transposé si nécessaire dans une base minkowskienne, pour une éventuelle interprétation « newtonienne » et vice-versa.

Non seulement aucune restriction n’est à craindre dans l’utilisation d’une base nulle, mais l’interprétation qu’elle nous présentera sera plus conforme à la nature de la relativité puisque cette théorie tire son originalité précisément des propriétés de la lumière.

Nous affirmons donc que, par ce choix, comme plus d’informations sur la phénoménologie sont inclues dans le formalisme, cela simplifiera les calculs et éclairera la compréhension des propriétés structurales de cet espace-temps.

A titre d’exemple, nous montrons qu’en coordonnées nulles, telles que définies par le formalisme de Newmann-Penrose , le formalisme est plus simple.

Nous proposerons une interprétation phénoménologique de ce résultat.

Directions principales nulles d’un espace-temps

Nous avons indiqué le rôle primordial que joue la lumière dans l’espace-temps relativiste puisque que c’est l’existence de la vitesse limite associée qui contraint sa structure. Il faut donc s’attacher à développer des formalismes incorporant cette caractéristique car ils seront les plus performants pour décrire et comprendre la théorie.

Ainsi, si l’étude des symétries géométriques, a priori, des espaces-temps relativistes ont permis rapidement de trouver quelques solutions simples, la solution pour un corps en rotation a dû attendre 47 ans pour être trouvée.

La solution du corps en rotation a été possible en utilisant d’autres méthodes où, précisément, les géodésiques nulles (celles définies pour la lumière) vont jouer un rôle déterminant et vont permettre, au delà de la découverte de cette solution, de définir une classification des types d’espace-temps. C’est l’existence et la configuration de classes de géodésiques principales nulles définies par des critères particuliers qui va les caractériser.

Classification de Petrov-Pirani

Dans la solution, dans le vide, que nous étudions le tenseur de Riemann se réduit au tenseur de Weyl décrivant un espace-temps conforme qu’on peut caractériser par les géodésiques nulles.

Étudier les symétries des familles de géodésiques nulles va permettre de classer les espaces-temps en différents types.

C’est cette démarche, qui s’est révélée fructueuse, que nous allons brièvement présenter.

Définition

Les éléments essentiels, qui ont conduit à cette classification1 qui a été à la source de progrès importants dans le développement de la théorie de la relativité générale sont les suivants.

Comme un espace-temps vide est caractérisé par le tenseur de Weyl (tenseur conforme), cette classification, [2], [3], permet de cataloguer des types d’espaces-temps vides particuliers par le nombre de valeur propres du tenseur de Weyl considéré comme un opérateur Cabmn s’appliquant sur des bi-vecteurs (tenseurs à deux indices) soit :

Xab½CabmnXmn.

Ces valeurs propres λ caractérisées par

½CabmnXmn. =λ Xab,

vont déterminer les niveaux de symétrie de ce tenseur.

On peut avoir de 1 à 4 valeurs propres différentes dont les combinaisons donnent :

Type I  : quatre directions principales nulles,

Type II : une direction double et deux directions simples principales nulles,

Type D  : deux directions doubles nulles,

Type III: une direction triple et une direction simple principale nulles,

Type N: une direction quadruple principale nulle,

Type O  : le tenseur de Weyl s’annule.

Interprétation physique

En Relativité Générale les différents types de Petrov algébriquement spéciaux peuvent s’interpréter physiquement, la classification résultante étant quelquefois appelée la classification des champs gravitationnels.

Les régions de type D sont associées aux champs gravitationnels d’objets massifs isolés, comme les étoiles. Plus précisément le type D est associé au champ gravitationnel d’un objet qui est complètement caractérisé par sa masse, sa charge électrique et son moment angulaire (Un objet plus général a des moments multipolaires d’ordre plus élevés non nuls).

Les deux directions nulles principales définissent les congruences nulles radiales entrantes et sortantes près de l’objet qui est la source du champ.

Le tenseur gravito-électrique (tenseur de marée) dans une région de type D ressemble beaucoup à son cousin Newtonien décrit par un potentiel gravitationnel de type Coulombien. Un tel champ de marée se traduit par une élongation dans une direction et une compression dans les directions orthogonales, les valeurs propres ont le profil (-2, 1, 1).

Par exemple une capsule spatiale en orbite autour de la Terre subit une élongation radiale minuscule et une compression minuscule dans les directions orthogonales.

Le champ de marée décroît en O(r-3), comme en mécanique Newtonienne où r est la distance à l’objet.

À ces valeurs propres dont le nombre (de 1 à 4) dépend des symétries de l’espace-temps, on peut associer des congruences de vecteurs nuls (quatre différentes dans le cas de symétrie minimum, jusqu’à une valeur quadruple dans le cas le plus symétrique) et lµ, nµ, dans notre cas.

Quelle complexité pour décrire la physique ! (18/05/21)

Ce post est un extrait de la page : Espace-temps. Coordonnées : celles de type nul, conduisent à un nouveau paradigme. Géodésiques principales nulles. Quelle réalité physique révélée ? Mise à jour 18/05/21

On ne peut être que frappé par la complexité mathématique qu’il faut mettre en œuvre pour établir des théories qui tentent de rendre compte des phénomènes tels qu’on les observe. L’exemple donné dans les chapitres précédents n’en donne qu’un pâle reflet. Les théories comme celles des cordes, des twisteurs, de la gravitation à boucles et dans une moindre mesure de la relativité, de la mécanique quantique et de la théorie des champs quantiques demandent des connaissances très approfondies en mathématiques pour y comprendre quelque chose, ce qui n’est pas à la portée de ” l’homme de rue”. Pourtant l’homme de la rue, comme tous les autres, subit ces lois de manière naturelle.

Quelle disproportion flagrante ! On se demande pourquoi les lois de la nature que nous subissons nous paraissent aussi compliquées ! Y-a-t-il une raison à cela ? Ne seraient-elles pas aussi efficaces si elles étaient bien plus simples ? Doit-on attribuer cela à la complexité intrinsèque de la nature elle -même, du moins telle qu’elle nous apparaît (les phénomènes), ou à l’indigence relative de notre esprit et de nos sens, puisque cette complexité est appréciée par eux. Ce serait comme regarder un objet avec un très mauvais instrument qui en donnerait des images éclatées, déformées et floues.

Faisant partie de l’univers, nous sommes soumis à ces lois, y compris notre esprit et nos sens, ce sont elles qui sont à l’œuvre dans notre raisonnement et les validations “physiques” qu’on peut en faire. On conçoit que cela impose des limites structurelles à la connaissance : les lois cherchent à se comprendre elles -mêmes au moyen de ces mêmes lois !

On peut s’étonner qu’on puisse faire des constructions mathématiques aussi élaborées qui semblent nous révéler au moins une partie du mystère. C’est possiblement lié au phénomène de la conscience qui est une réflexion du sujet sur lui-même, pris alors comme objet. Mais on conçoit que ce procédé ne peut procurer qu’une information dégradée.

De ces considérations, il paraît raisonnable se demander, à l’instar de Platon, si les phénomènes, ombres d’une réalité “parfaite”, ne sont pas la source de cette complexité. Ils seraient des fragments probablement incomplets et distordus et, à ce titre, paraissant bien mystérieux, du puzzle représentant une supposée “réalité physique”.

Les constructions mathématiques complexes de nos théories, ne seraient donc pas forcément liées à la complexité de la nature elle-même mais au fait qu’on en dispose que de fragments épars et distordus. Elles visent alors à essayer de reconstituer (apparemment avec un certain succès tout de même) une meilleure image de la nature à partir de ces bribes disparates et dégradées en fonction de cohérences ou de lois supposées. Il faut tout de même garder à l’esprit que ce qu’on appelle la validation (en fait le non-rejet) d’une théorie ne peut s’appuyer que sur ces fragments (phénomènes) qui sont les seuls objets qui nous sont accessibles : la théorie doit prédire ces fragments. Le scientifique va rechercher des lois qui pourraient donner une signification cohérente à la production de ces fragments, sans forcément être capable de découvrir l’image du puzzle complet qui peut être simple (mais on ne la connaît pas)! Une autre question surgit alors : de quelles types de lois, a priori, pour tenter de donner un sens aux fragments qu’il observe, le scientifique dispose et quelle est leur source? Par exemple, on invoque de plus en plus les symétries qui peuvent se manifester par des aspects géométriques ou de façon plus formelle par des invariants par des transformations (groupes de symétries) dans la physique (théorie des champs quantiques par exemple). Il est vrai que quand on sonde la nature dans ses retranchements ultimes il ne reste guère que des relations dont on ne peut extraire que des symétries ! H. Weyl qui s’était intéressé au sujet suggère que nous puisons cet intérêt pour les symétries dans l’observation de la nature (monde minéral, cristaux, végétaux, animaux, ..) : elles sont omniprésentes.

De ceci on déduit que la nature aime la symétrie…

A défaut de décrire la nature dans sa plénitude, le scientifique peut, malgré tout, espérer améliorer sa connaissance de la nature par la diversification et l’acquisition de nouveaux moyens expérimentaux qui vont lui permettre de disposer d’autres fragments voire de toutes les pièces du puzzle, ce qui ne veut pas dire qu’on saura les assembler pour découvrir l’image qu’ils représentent !

Ceci induit que la structure du formalisme des moyens mathématiques mis en œuvre qui ont été couronnés de succès, nous informent sur les lois de la nature car on est fondé de supposer que ce succès résulte d’un morphisme entre la structure des lois de la nature et la structure du formalisme qui prédit correctement les phénomènes que ces lois de la nature nous proposent.

Cela montre l’intérêt que représentent ces formalismes qu’il faut interpréter dans le contexte de ce qu’ils produisent : une clé pour donner un sens à des fragments !

Même à supposer qu’on puisse obtenir tous les fragments, d’une part cela n’impliquera pour autant qu’on saura les assembler correctement pour former une image et d’autre part, même si c’était le cas, qu’on saura bien interpréter cette image, sans doute brouillée, de la nature.

Quelques exemples illustrant ces propos

Relativité restreinte

On connaît la querelle en paternité de la relativité restreinte, Einstein ayant été qualifié par certains de vil copieur !

Il est vrai que Lorentz par les transformations empiriques qu’il a établies, Poincaré par le groupe des transformations de l’espace de la relativité restreinte qu’il a identifié, ont contribué à la genèse de cette théorie, qui “était dans l’air” à l’époque, suite au problème posé par l’électromagnétisme et l’expérience de Morley-Michelson.

Mais il faut reconnaître que c’est Einstein, en 1905, qui lui a donné son fondement en lui donnant un sens physique par le principe de “relativité”. Tous les phénomènes physiques (hormis la gravitation) obéissent aux mêmes lois dans tous les référentiels inertiels qui ne se différencient que par une vitesse (constante) relative. Ceci suffit, avec le paramètre de la vitesse de la lumière qui est une constante dans tous les référentiels [4] , à contraindre et dériver les équations de la relativité restreinte. En effet ces référentiels se caractérisent par le fait qu’on ne ressent aucune contrainte (les objets “flottent et nous flottons). Dans ces référentiels présentant la même phénoménologie, la physique doit être la même. Aucun n’est privilégié.

Cette situation a fait dire à certains qu’en 1905 on avait toutes les pièces du puzzle, mais que c’est Einstein qui a montré ce qu’elles devaient représenter et donc comment assembler ces pièces.

Relativité générale

Il y a eu une petite querelle en paternité entre Einstein et Hilbert qui s’est réglé à l’amiable, Hilbert reconnaissant que l’essentiel de l’analyse du problème était dû à Einstein, sa contribution sur l’équation était simplement la résolution d’un problème mathématique (avec brio, car il a proposé une méthode bien plus générale que celle d’Einstein en définissant une action, l’action d’Hilbert, pour la relativité générale). Einstein qui s’était de son côté attaché à transposer la gravitation sous une forme relativiste avait bien établi son équation avant Hilbert, mais de manière moins élégante.

La forme géométrique de la théorie de la relativité générale qui est une théorie de la gravitation montre qu’on peut décrire, par exemple l’univers, par sa géométrie qui dépend de ce qui constitue l’univers.

Le grand intérêt de cette formulation est qu’elle permet de prendre en compte une “non- linéarité” qui semble nécessaire : tous les objets contribuent à définir la géométrie de l’univers auquel, en retour, tous ces mêmes objets vont se coupler (ils vont suivre des géodésiques de la géométrie de cet univers). La boucle est bouclée.

Magnifique solution mettant en œuvre cette récursivité où l’objet (celui qui fait subir) est aussi le sujet (celui qui subit). Un modèle qui pourrait servir de paradigme pour des phénomènes comme celui la conscience ?

Autre beauté de la solution, l’univers ainsi défini est “auto-suffisant”, (l’espace-temps est défini par ce qu’on appelle une variété en mathématiques) autrement-dit, il n’a besoin de rien d’autre que lui-même pour exister et être totalement défini. Cela élude le problème d’une création et le “réduit” à celui d’une existence.

Mécanique quantique

De nombreux scientifiques ont contribué à cette théorie, tellement étrange que son interprétation physique est toujours sujette à débat, même si l’interprétation de l’école de Copenhague fait référence.

Face à la nature étrange, très différente de ce que nous présentait le monde de la physique et mécanique classique, que les scientifiques découvraient il est intéressant de noter l’approche de W. Heisenberg qui proposait d’abandonner tous les concepts de la mécanique classique et de ne considérer que les “observables” (les phénomènes) comme éléments de la théorie.

Elles étaient présentées dans des matrices, associées à un formalisme qui permettait de faire des calculs. D’un autre côté Schrödinger développait une solution avec une équation d’une fonction d’onde, permettant de définir l’état d’un système. On connaît la suite, le formalisme définit aussi des opérateurs associés aux grandeurs physiques (observables), qui appliqués à la fonction d’onde permettait de prédire des probabilités de résultats des mesures des observables.

Le formalisme de Heisenberg et celui de Schrödinger se sont révélés équivalents, ce qui est intéressant, car cela atteste que deux approches fondamentalement différentes pouvaient aussi bien décrire ce qu’on pouvait connaître de la nature.

[1] La lumière, plus généralement les ondes électromagnétiques, n’est qu’un “marqueur” de l’existence d’une vitesse limite qui est la vraie contrainte. Attention à ce qu’on appelle vitesse en relativité, car la vitesse définie en relativité est covariante. Elle se réfère au temps propre et non pas à la coordonnée temps.

[2]Rappelons le remarquable article de E. Cartan (C.R.A.S) T 174 (1922) p. 857-860, qui préfigure cette classification

[3]Voir Petrov A.Z (1954), Pirani F.A.E (1957)

[4] Ce point structurellement très important, cette limite étant impliquée dans la causalité, résultant du principe de relativité qui révèle un invariant de vitesse mais n’en spécifie pas la valeur. La valeur de de cette constante est une donnée expérimentale. voir: https://astromontgeron.fr/SR-Penrose.pdf