{"id":3670,"date":"2025-09-10T15:52:23","date_gmt":"2025-09-10T13:52:23","guid":{"rendered":"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/?page_id=3670"},"modified":"2025-09-11T12:11:13","modified_gmt":"2025-09-11T10:11:13","slug":"espace-temps-relativistes-a-symetrie-maximale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/?page_id=3670","title":{"rendered":"Espace-temps relativistes \u00e0 sym\u00e9trie maximale 11\/09\/25"},"content":{"rendered":"\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>Espaces \u00e0 sym\u00e9tries maximum<\/a><a href=\"#_ftn1\" id=\"_ftnref1\"><strong>[1]<\/strong><\/a><\/h2>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>Chapitre 1&nbsp;: Probl\u00e8me \u00e0 r\u00e9soudre \u2013 g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les sym\u00e9tries des espaces<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quel niveau de sym\u00e9tries pour un espace&nbsp;? Un espace \u00e0 <em>n<\/em> dimensions Rn de m\u00e9trique euclidienne est invariant par les translations et rotations autour de tout point P.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il y a <em>n<\/em> translations lin\u00e9airement ind\u00e9pendantes et comme il y a <em>n<\/em> axes de rotations, autour de chaque axe consid\u00e9r\u00e9 il y a <em>n-1<\/em> rotations des autres axes, mais compte tenu qu\u2019une rotation de x vers y est la m\u00eame que y vers x il faut diviser l\u2019ensemble par 2. Ceci fait donc&nbsp;: \u00bd <em>n(n-1)<\/em> rotations.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Au total cela fait&nbsp;:&nbsp; <em>n + \u00bd n(n-1) = \u00bd n(n+1)<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En espace de Minkowski de signature Lorenztienne, certaines rotations sont des boosts.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour des espaces non euclidiens, il existe des espaces comme la sph\u00e8re, et les hypersph\u00e8res qui sont aussi \u00e0 sym\u00e9trie maximum, ainsi que leurs \u00e9quivalents de type hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si la vari\u00e9t\u00e9 non euclidienne repr\u00e9sentant l\u2019espace-temps est \u00e0 sym\u00e9trie maximum sa courbure doit \u00eatre la m\u00eame partout et dans toutes les directions (homog\u00e8ne et isotrope). Si nous la connaissons en un point alors nous la connaissons pour tous les points. Il y a peu d\u2019espaces \u00e0 sym\u00e9trie maximale.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">***********************************************************************<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Quelques rappels&nbsp;:<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le tenseur de Riemann s\u2019\u00e9crit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a><\/a><a>R<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/a> = \u2202<sub>\u03bc<\/sub><a>\u0393<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03bd\u03c3<\/sub><\/a> &#8211; \u2202<sub>\u03bd<\/sub>\u0393<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03bc\u03c3<\/sub> + \u0393<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03bc\u03bb<\/sub>\u0393<sup>\u03bb<\/sup><sub>\u03bd\u03c1<\/sub> &#8211; \u0393<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03bd\u03bb<\/sub>\u0393<sup>\u03bb<\/sup><sub>\u03bc\u03c3<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 <a>\u0393<sup>\u03bb<\/sup><sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/a> est un symbole de Christoffel qui vaut&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u0393<sup>\u03bb<\/sup><sub>\u00b5\u03bd <\/sub>= \u00bd g<sup>\u03bb\u03c3<\/sup>(\u2202<sub>\u03bc<\/sub>g<sub>\u03bd\u03c3<\/sub> +\u2202<sub>\u03bd<\/sub>g<sub>\u03c3\u03bc<\/sub> &#8211; \u2202<sub>\u03c3<\/sub>g<sub>\u03bc\u03bd<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 g<sub>\u03bc\u03bd<\/sub> est la m\u00e9trique et g<sup>\u03bb\u03c3<\/sup> la m\u00e9trique inverse d\u00e9finie par&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">g<sup>\u00b5\u03c1<\/sup>.g<sub>\u03c1\u03bd<\/sub>= <a>\u03b4<sup>\u00b5<\/sup><sub>\u03bd<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 \u03b4<sup>\u00b5<\/sup><sub>\u03bd<\/sub> est le symbole de Kronecker qui vaut 1 pour \u00b5 = \u03bd et z\u00e9ro sinon.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Rappelons que la m\u00e9trique et la m\u00e9trique inverse permettent respectivement d\u2019abaisser et d\u2019\u00e9lever des indices dans les tenseurs. Ainsi la version du tenseur de Riemann avec tous les indices bas s\u2019\u00e9crit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<sub>\u03bb\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub> = g<sub>\u03bb\u03c1<\/sub>R<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On doit sommer sur l\u2019indice \u03c1 de 0 \u00e0 3 sur son expression pour r\u00e9aliser l\u2019op\u00e9ration.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le tenseur de Ricci <a>R<sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/a> qui est la contraction du tenseur de Riemann s\u2019\u00e9crit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>R<sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/a> = R<sup>\u03c1<\/sup><sub>\u00b5\u03c1\u03bd<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Conform\u00e9ment \u00e0 la notation d\u2019Einstein, on contracte en sommant sur l\u2019indice \u03c1 de 0 \u00e0 3.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quant au scalaire de Ricci R, il vaut&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R = R<sup>\u00b5<\/sup><sub>\u00b5 <\/sub>= g<sup>\u00b5\u03bd<\/sup> R<sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">***********************************************************************<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les vari\u00e9t\u00e9s \u00e0 sym\u00e9trie maximale sont class\u00e9es par la valeur du scalaire de courbure de Ricci R qui sera constant partout, le nombre de dimensions <em>n<\/em>, la signature de la m\u00e9trique et la topologie (distinguer un n-tore de l\u2019espace euclidien Rn).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour de tels espaces nous pouvons reconstruire le tenseur de Riemann \u00e0 partir du scalaire de Ricci R<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Solution propos\u00e9e<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L\u2019id\u00e9e est que, comme la g\u00e9om\u00e9trie est la m\u00eame dans toutes les directions, le tenseur de courbure doit \u00eatre le m\u00eame dans toutes les directions. Comment faire&nbsp;? Choisissons des coordonn\u00e9es locales (indices en gras) inertielles \u00e0 un point P telles que g<strong><u><sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/u> <\/strong>= \u03b7<strong><sub>\u00b5\u03bd <\/sub><\/strong>. Ces coordonn\u00e9es locales ne sont pas uniques.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme la g\u00e9om\u00e9trie est \u00e0 sym\u00e9trie maximale imposons que les composantes du tenseur de Riemann soient de m\u00eame et qu\u2019elles ne doivent pas changer par application d\u2019une transformation de Lorentz.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il n\u2019y a que peu de tenseurs qui ont cette propri\u00e9t\u00e9, la m\u00e9trique, le tenseur de Kronecker et celui de Levi-Civita. Cela implique que le tenseur de Riemann, dans ces coordonn\u00e9es doit \u00eatre proportionnel \u00e0 un tenseur construit \u00e0 partir de ces tenseurs invariants.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme ce tenseur doit respecter les sym\u00e9tries intrins\u00e8ques du tenseur de Riemann<a href=\"#_ftn2\" id=\"_ftnref2\">[2]<\/a>, la seule solution est&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>R<strong><sub>\u03c1\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong> = k. (g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>&#8211; g<strong><sub>\u03c1\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>)<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 k est un facteur de proportionnalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">V\u00e9rifions, par exemple, que cette solution satisfait bien \u00e0 l\u2019antisym\u00e9trie par permutation sur les 2 premiers indices (\u03c1\u2194\u03c3) du tenseur de Riemann<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<strong><sub>\u03c3\u03c1\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong> = k. (g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c1\u03bd <\/sub><\/strong>\u2013 g<strong><sub>\u03c3\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong>) = &#8211; R<strong><sub>\u03c1\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong> = k. (g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>\u2013 g<strong><sub>\u03c1\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vous pouvez v\u00e9rifier \u00e0 titre d\u2019exercice que les autres \u00ab&nbsp;sym\u00e9tries&nbsp;\u00bb sont bien r\u00e9alis\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme cette relation est tensorielle, elle est valide dans n\u2019importe quelles coordonn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Calcul de la constante de proportionnalit\u00e9<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quelques rappels&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On utilise la convention d\u2019Einstein pour la contraction des tenseurs (qui r\u00e9duit leur ordre) un indice haut se contracte avec un indice bas de m\u00eame nom, de dimension n, selon la loi&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>A<sup>\u00b5<\/sup><sub>\u03bd<\/sub><\/a> B<sub>\u00b5<\/sub><sub>\u03c1<\/sub><sub> <\/sub>= C<sub>\u03bd\u03c1<\/sub> = A<sup>0<\/sup><sub>\u03bd<\/sub> B<sub>0<\/sub><sub>\u03c1<\/sub> + ..+ A<sup>n<\/sup><sub>\u03bd<\/sub> B<sub>n\u03c1<\/sub><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On rappelle qu\u2019on utilise la convention d\u2019Einstein, il faut donc sommer sur \u03c1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Avec ces pr\u00e9cisions, on doit \u00eatre capable de comprendre la suite.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut facilement calculer la constante de proportionnalit\u00e9 en contractant les 2 termes de la relation ce qui se fait comme suit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>g<sup>\u03c1\u03bc<\/sup>R<strong><sub>\u03c1\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong>&nbsp; = k. g<sup>\u03c1\u03bc<\/sup>(g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>&#8211; g<strong><sub>\u03c1\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>)<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">g<sup>\u03c1\u03bc<\/sup>R<strong><sub>\u03c1\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong>&nbsp; = k. g<sup>\u03c1\u03bc<\/sup>(g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>&#8211; g<strong><sub>\u03c1\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On va d\u2019abord \u00e9lever le premier indice puis contracter sur cet indice<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>R<strong><sup>\u00b5<\/sup><sub>\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong><\/a>&nbsp; = R<strong><sub>\u03c3\u03bd<\/sub><\/strong> = k. <a>g<sup>\u03c1\u03bc<\/sup><\/a>(g<strong><sub>\u03c1\u03bc<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>&#8211; g<strong><sub>\u03c1\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>) = k. (n g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>\u2013 \u03b4<sup>\u00b5<\/sup><strong><sub>\u03bd<\/sub><\/strong> g<strong><sub>\u03c3\u03bc<\/sub><\/strong>)= k. (n g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong>\u2013 g<strong><sub>\u03c3\u03bd<\/sub><\/strong>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Puis pour obtenir le scalaire de Ricci on va contracter une deuxi\u00e8me fois.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>g<sup>\u03c1\u03c3<\/sup><\/a> R<strong><sub>\u03c3\u03bd<\/sub><\/strong> = R = <a>k. (n -1) g<sup>\u03c1\u03c3<\/sup> g<strong><sub>\u03c3\u03bd <\/sub><\/strong><\/a><strong>= <\/strong>k. (n -1)n \u2192 k = R\/[(n(n-1)]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le terme de gauche devient R et celui de droite n(n-1).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On obtient alors&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">R<sub>\u03c1\u03c3\u03bc\u03bd<\/sub> = R\/[n(n-1)] (g<sub>\u03c1\u03bc<\/sub> g<sub>\u03c3\u03bc <\/sub>&#8211; g<sub>\u03c1\u03bd<\/sub> g<sub>\u03c3\u03bc<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>Espaces temps \u00e0 sym\u00e9trie maximum<\/a><a href=\"#_ftn3\" id=\"_ftnref3\"><sup><strong><sup>[3]<\/sup><\/strong><\/sup><\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les espaces temps \u00e0 sym\u00e9trie spatiale maximum sont en fait des cas particuliers d\u2019une situation plus g\u00e9n\u00e9rale o\u00f9, par exemple, c\u2019est seulement l\u2019espace qui est sym\u00e9trique.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans un certain sens, de tels univers sont des \u00ab&nbsp;<strong><em>\u00e9tats de base<\/em><\/strong>&nbsp;\u00bb de la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le tenseur de Riemann caract\u00e9rise compl\u00e8tement la courbure intrins\u00e8que de l\u2019espace- temps, il doit donc refl\u00e9ter ses sym\u00e9tries.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, ses composantes sont des fonctions de la m\u00e9trique et de ses d\u00e9riv\u00e9es premi\u00e8res et secondes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour un espace-temps \u00e0 sym\u00e9trie maximum, il se simplifie consid\u00e9rablement, ses composantes ne sont fonction de que la m\u00e9trique elle-m\u00eame. Dans une vari\u00e9t\u00e9 \u00e0 <strong><em>n<\/em><\/strong> dimensions de m\u00e9trique <strong><em>g<sub>\u00b5\u03bd<\/sub><\/em><\/strong>, il s\u2019\u00e9crit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>R<\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03c1\u03c3\u00b5<\/sub><\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03bd <\/sub>=K(g<\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03c1\u00b5<\/sub>g<\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03c3\u03bd<\/sub> &#8211; g<\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03c1\u03bd<\/sub>g<\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03c3\u00b5<\/sub>)<\/em><\/strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <strong><em>(4.1)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 <strong><em>K<\/em> <\/strong>est la mesure normalis\u00e9e de la courbure de Ricci<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>K = R\/n(n-1)&nbsp;&nbsp; = R\/12&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/em><\/strong><em>(pour n =4)<strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.2)<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Et le scalaire de Ricci \u00ab&nbsp;<strong><em>R<\/em><\/strong>&nbsp;\u00bb doit \u00eatre constant partout dans la vari\u00e9t\u00e9. Comme nous pouvons toujours mettre la m\u00e9trique sous sa forme canonique en un point quelconque (<strong><em>g<sub>\u00b5<\/sub><\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03bd<\/sub> = \u03b7<sub>\u00b5<\/sub><\/em><\/strong><strong><em><sub>\u03bd<\/sub><\/em><\/strong>), les sortes d\u2019espaces temps \u00e0 sym\u00e9trie maximum vont \u00eatre caract\u00e9ris\u00e9s localement par la signature de la m\u00e9trique et par le signe du param\u00e8tre constant <strong>K<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous disons, localement, pour permettre diff\u00e9rentes solutions globales possibles, comme pour le plan et le tore.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous nous int\u00e9ressons aux m\u00e9triques de signatures <strong><em>(- + + + ).<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>Les trois cas g\u00e9n\u00e9riques correspondent donc \u00e0 K &lt; 0 (espace-temps anti De Sitter) , K = 0 (espace-temps de Minkowski) , K &gt; 0 (espace-temps de De Sitter)<\/a><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>Pour K = 0 nous connaissons bien cette m\u00e9trique, c\u2019est celle de Minkowski.<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>ds\u00b2 = -dt\u00b2 + dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.3)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le diagramme conforme associ\u00e9 est connu. C\u2019est l\u2019espace-temps de la relativit\u00e9 restreinte. Nous ne d\u00e9velopperons pas ce cas.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>L\u2019espace-temps \u00e0 sym\u00e9trie maximum correspondant \u00e0 K &gt; 0, courbure positive<\/a><a href=\"#_ftn4\" id=\"_ftnref4\"><sup><strong><sup>[4]<\/sup><\/strong><\/sup><\/a> est appel\u00e9 l\u2019espace \u00ab&nbsp;<em>de Sitter<\/em>&nbsp;\u00bb.<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rons un espace de Minkowski \u00e0 <strong><em>5 <\/em><\/strong>dimensions de m\u00e9trique<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>ds<sub>5<\/sub>\u00b2= -du\u00b2 + dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2 + dw\u00b2<\/em><\/strong> et d\u00e9finissons y un (hyper)hyperbolo\u00efde<a href=\"#_ftn5\" id=\"_ftnref5\"><sup>[5]<\/sup><\/a> donn\u00e9 par<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>-u\u00b2 + x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 + w\u00b2 = \u03b1\u00b2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.4)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Maintenant d\u00e9finissons les coordonn\u00e9es <em>( <strong>t, \u03c7, \u03b8, <\/strong><\/em><strong><em>\u0424<\/em><\/strong>)sur&nbsp; l\u2019(hyper)hyperbolo\u00efde via<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>u = \u03b1.sinh(t\/\u03b1)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>w = \u03b1.cosh(t&nbsp;\/\u03b1).cos\u03c7<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>x = \u03b1.cosh(t\/\u03b1).sin\u03c7.cos\u03b8<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>y = \u03b1.cosh(t\/\u03b1).sin\u03c7.sin\u03b8.cos<\/em><\/strong><strong><em>\u0424<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>z = \u03b1.cosh(t\/\u03b1).sin\u03c7.sin\u03b8.sin<\/em><\/strong><strong><em>\u0424&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/em><\/strong><strong><em>(4.5)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La m\u00e9trique sur l\u2019hyperbolo\u00efde est alors<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>ds\u00b2 = -dt\u00b2 + \u03b1\u00b2cosh\u00b2(t\/\u03b1)[ d\u03c7\u00b2 + sin\u00b2\u03c7(d\u03b8\u00b2 +sin\u00b2\u03b8d<\/em><\/strong><strong><em>\u0424\u00b2)]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (6)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol style=\"list-style-type:lower-alpha\" class=\"wp-block-list\">\n<li>La m\u00e9trique est non statique. Mathematica 4, permet de v\u00e9rifier qu\u2019elle satisfait <strong><em>(4.1).<\/em><\/strong><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Il n\u2019y a pas de singularit\u00e9 apparente (mais un horizon des \u00e9v\u00e8nements<a href=\"#_ftn6\" id=\"_ftnref6\"><sup>[6]<\/sup><\/a>). A ce propos, remarquons que quand nous avons calcul\u00e9 la distance de cet horizon pour les formes <strong>(4)-(5),<\/strong> nous avons not\u00e9 qu\u2019elle d\u00e9pendait des coordonn\u00e9es temporelles de l\u2019observateur (cette distance est maximum pour <strong>t = 0<\/strong> et elle <strong>\u2192 0<\/strong> quand <strong>t \u2192 \u221e <\/strong>o\u00f9 l\u2019univers devient totalement causalement d\u00e9connect\u00e9).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut v\u00e9rifier que ceci s\u2019applique \u00e9galement \u00e0 la forme <strong>(6).<\/strong> Cela peut para\u00eetre surprenant pour une solution a sym\u00e9trie maximum o\u00f9 tous les points sont \u00e9quivalents.&nbsp; A priori, un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es \u00e9tant arbitraire, il semblerait toujours possible d\u2019imposer <strong>t = 0<\/strong> et <strong>\u03c8 = 0 <\/strong>pour l\u2019observateur qu\u2019on consid\u00e8re <strong>(<\/strong>choix des origines<strong>)<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mais remarquons que les formes (4)-(6) n\u2019\u00e9tant pas homog\u00e8nes par rapport au temps, elles d\u00e9terminent des classes d\u2019observateurs et la d\u00e9pendance des coordonn\u00e9es doit se lire comme caract\u00e9risant la relation entre les diff\u00e9rentes classes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cela est li\u00e9 \u00e0 la brisure de sym\u00e9trie li\u00e9e \u00e0 l\u2019utilisation de cette forme. Existe-t-il cependant un crit\u00e8re ind\u00e9pendant des coordonn\u00e9es, de nature conforme, par exemple, li\u00e9 aux g\u00e9od\u00e9siques nulles, pour caract\u00e9riser les hypersurfaces remarquables qui r\u00e9gentent la causalit\u00e9&nbsp;?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L\u2019\u00e9quivalence conforme entre l\u2019univers de De Sitter et celui statique d\u2019Einstein, n\u2019\u00e9claire pas ce probl\u00e8me comme on aurait pu l\u2019esp\u00e9rer, car il n\u2019y a pas d\u2019horizon des \u00e9v\u00e8nements dans la solution statique d\u2019Einstein.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La coordonn\u00e9e <strong><em>t <\/em><\/strong>correspond au temps propre.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Nous reconnaissons<a href=\"#_ftn7\" id=\"_ftnref7\"><sup>[7]<\/sup><\/a> entre parenth\u00e8ses la m\u00e9trique sur une <strong><em>2-sph\u00e8re d\u03a9<sub>2<\/sub><sup>2<\/sup><\/em><\/strong> et entre crochets la m\u00e9trique sur une <strong><em>3-sph\u00e8re d\u03a9<sub>3<\/sub><sup>2<\/sup><\/em><\/strong> qui sont les sections spatiales.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Le scalaire de Ricci vaut <strong>12\/\u03b1\u00b2<\/strong>&nbsp;conform\u00e9ment \u00e0 (4-2) avec <strong>\u03b1\u00b2 =1\/K<\/strong>,<strong> \u03b1<\/strong> \u00e9tant le rayon de l\u2019hypersph\u00e8re spatiale : il est constant sur la vari\u00e9t\u00e9 (v\u00e9rifi\u00e9 par math\u00e9matica 4).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La forme d\u00e9crit une vari\u00e9t\u00e9 spatialement ouverte <strong><em>cosh(t\/\u03b1) <\/em><\/strong>\u2192 \u221e quand t \u2192 \u00b1 \u221e.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Ces coordonn\u00e9es couvrent toute la vari\u00e9t\u00e9. On peut le v\u00e9rifier en \u00e9tudiant le comportement des g\u00e9od\u00e9siques aux limites du syst\u00e8me de coordonn\u00e9es, car si les coordonn\u00e9es sont incompl\u00e8tes, les g\u00e9od\u00e9siques se terminent alors que le param\u00e8tre affine associ\u00e9 reste fini<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La topologie de l\u2019espace \u00ab&nbsp;de Sitter&nbsp;\u00bb est <strong><em>R x S<sup>3<\/sup><\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donc la m\u00e9trique de \u00ab\u00a0de Sitter\u00a0\u00bb d\u00e9crit une <strong><em>3-sph\u00e8re<\/em><\/strong> qui initialement r\u00e9tr\u00e9cit, atteint son minimum pour <strong><em>t = 0<\/em><\/strong>, et ensuit rebondit et gonfle \u00e0 jusqu\u2019\u00e0 l\u2019infini.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>L\u2019univers de De Sitter et l\u2019univers statique d\u2019Einstein sont conform\u00e9ment \u00e9quivalents<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il y correspond un diagramme conforme tr\u00e8s simple, on peut en effet \u00e9crire cette m\u00e9trique dans une forme conform\u00e9ment reli\u00e9e \u00e0 l\u2019univers statique d\u2019Einstein (un espace-temps de topologie <strong><em>R x S3<\/em><\/strong>, d\u00e9crivant une 3-sph\u00e8re spatiale de rayon constant dans le temps). Consid\u00e9rons la transformation de coordonn\u00e9e de<strong><em> t<\/em><\/strong> en <strong><em>t\u2019<\/em><\/strong> par&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>cosh(t\/\u03b1<\/em><\/strong><strong><em>) = 1\/cos(t\u2019)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.7)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La m\u00e9trique <strong><em>(4.6<\/em><\/strong>) devient alors<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>ds\u00b2 = [ \u03b1\u00b2\/cos\u00b2(t\u2019)] ds\u2019\u00b2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.8)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O\u00f9 ds\u2019\u00b2 repr\u00e9sente la m\u00e9trique de l\u2019univers statique d\u2019Einstein<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ds\u2019\u00b2 = -dt\u2019\u00b2 +d\u03c7\u00b2 +sin\u00b2\u03c7.d\u03a9<sub>2<\/sub>\u00b2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.9)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">la nouvelle coordonn\u00e9e temps s\u2019\u00e9tend de<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>-\u03c0\/2 &lt; t\u2019&lt; \u03c0\/2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (4.10)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ceci est repr\u00e9sent\u00e9 par le diagramme ci-dessous.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"483\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1024x483.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3678\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1024x483.png 1024w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-300x141.png 300w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-768x362.png 768w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image.png 1041w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le diagramme conforme de l\u2019espace-temps \u00ab&nbsp;de Sitter&nbsp;\u00bb est simplement la repr\u00e9sentation de la pi\u00e8ce de l\u2019univers statique d\u2019Einstein, qui y est conform\u00e9ment \u00e9quivalent.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il ressemble \u00e0 un carr\u00e9, comme la figure <strong>4.1<\/strong> le montre.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une tranche d\u2019espace \u00e0 <strong><em>t\u2019<\/em><\/strong>constant repr\u00e9sente une 3-sph\u00e8re (hypersph\u00e8re), les lignes interrompues \u00e0 gauche et \u00e0 droite sont le p\u00f4le nord et le p\u00f4le sud de cette 3-sph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les lignes diagonales repr\u00e9sentent des trajectoires de photons.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un photon partant de l\u2019infini du pass\u00e9 va aller \u00e0 l\u2019antipode de cette 3 sph\u00e8re \u00e0 l\u2019infini du futur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si l\u2019hypersph\u00e8re n\u2019est pas facile \u00e0 se repr\u00e9senter, il faut se rappeler que les g\u00e9od\u00e9siques lumi\u00e8re suivent des grands cercles de l\u2019hypersph\u00e8re, qui sont eux faciles \u00e0 repr\u00e9senter, c\u2019est pour cela que \u00e0 l\u2019image de ce qui se passe \u00e0 la surface d\u2019une 2-sph\u00e8re pour des grands cercles un photon va aux antipodes (et il peut continuer et boucler ind\u00e9finiment dans la solution d\u2019univers statique d\u2019Einstein).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Par ailleurs la repr\u00e9sentation conforme pr\u00e9serve le caract\u00e8re des g\u00e9od\u00e9siques lumi\u00e8res, et la causalit\u00e9 associ\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Gardons \u00e0 l\u2019esprit que l\u2019espace se \u00ab&nbsp;termine&nbsp;\u00bb dans le pass\u00e9 et dans le futur par la \u00ab&nbsp;magie&nbsp;\u00bb de la transformation conforme, l\u2019espace-temps de \u00ab&nbsp;de Sitter&nbsp;\u00bb s\u2019\u00e9tendant ind\u00e9finiment vers le pass\u00e9 et vers le futur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Remarquons aussi que deux points peuvent avoir des c\u00f4nes de lumi\u00e8re du futur ou du pass\u00e9 qui sont compl\u00e8tement disjoints.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ceci est d\u00fb au fait que les sections sph\u00e9riques spatiales s\u2019\u00e9tendent si rapidement que la lumi\u00e8re d\u2019un point ne peut jamais rencontrer celle \u00e9mise par l\u2019autre.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le fait que ces univers soient conform\u00e9ment \u00e9quivalents n\u2019est pas surprenant car ils sont tous les deux \u00e0 sym\u00e9trie maximum, ceci malgr\u00e9 leur diff\u00e9rence de&nbsp;nature physique, l\u2019univers statique d\u2019Einstein contient de la mati\u00e8re, il est fini et \u00e0 ce titre a toutes les qualit\u00e9s requises par Einstein pour satisfaire au principe de Mach, alors que l\u2019univers de De Sitter est vide.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Exemple d\u2019espace \u00e0 sym\u00e9trie maximale&nbsp;: calcul de la m\u00e9trique spatiale de Robertson-Walker<\/a><\/h1>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1004\" height=\"616\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3689\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-3.png 1004w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-3-300x184.png 300w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-3-768x471.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"807\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-4-1024x807.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3691\" 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nature de cette \u00ab&nbsp;pseudo singularit\u00e9&nbsp;\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On montre \u00e9galement que la solution de <strong>De Sitter<\/strong> qui malm\u00e8ne le principe de <strong>Mach<\/strong>, cher \u00e0 <strong>Einstein<\/strong>, se r\u00e9v\u00e8le \u00eatre une solution g\u00e9n\u00e9rale li\u00e9e aux sym\u00e9tries du tenseur de Riemann, qu\u2019on peut \u00e9tablir ind\u00e9pendamment des \u00e9quations d\u2019Einstein et de la m\u00e9trique, (respecte la covariance).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Elle correspond \u00e0 une vari\u00e9t\u00e9 \u00e0 sym\u00e9trie maximum, homog\u00e8ne, dont le scalaire de Ricci caract\u00e9risant la courbure (\u00e0 quatre dimensions) est positif et constant sur toute la vari\u00e9t\u00e9. Elle fait partie des trois solutions d\u2019espace-temps \u00e0 quatre dimensions de signature Lorentzienne \u00e0 sym\u00e9trie maximum dont les deux autres sont l\u2019espace-temps anti De Sitter pour <em>R &lt; 0<\/em> et l\u2019espace- temps de Minkowski pour <em>R = 0<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Elle satisfait l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein, mais n\u2019est formellement en rien contrainte par elle. Ces solutions \u00e0 sym\u00e9trie maximum sont quelquefois appel\u00e9es \u00e9tats de base de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La \u00ab&nbsp;dynamique&nbsp;\u00bb de cette solution se comprend ais\u00e9ment. Brisons la covariance en \u00e9tudiant qualitativement le comportement spatial et temporel. La courbure scalaire de Ricci (4D) \u00e9tant constante quand la courbure spatiale est faible (grand rayon de l\u2019hypersph\u00e8re spatiale) la courbure temporelle (l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration) doit \u00eatre forte et vice versa.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mais est-ce vraiment une dynamique, ou simplement une exploration de la vari\u00e9t\u00e9&nbsp;au moyen d\u2019un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es ?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ceci nous am\u00e8nera \u00e0 r\u00e9fl\u00e9chir sur ce qui rel\u00e8ve de propri\u00e9t\u00e9s purement g\u00e9om\u00e9triques et sur ce qui rel\u00e8ve de l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>Formes Statiques<\/a><a href=\"#_ftn8\" id=\"_ftnref8\"><strong>[8]<\/strong><\/a> de De Sitter et variantes : 1917-1918<\/h2>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>La forme statique de De Sitter<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Alors qu\u2019Einstein \u00e9tait amen\u00e9 \u00e0 modifier son \u00e9quation fra\u00eechement \u00e9tablie, en ajoutant en 1917 la constante cosmologique, pour trouver une solution d\u2019univers statique dans le contexte cosmologique, De Sitter lui fit part d\u2019une solution vide de mati\u00e8re \u00e0 ses \u00e9quations :<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2= &#8211; cos\u00b2(r\/R).dt\u00b2 + dr\u00b2 +R\u00b2[sin\u00b2(r\/R)(d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2)]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1.1)<\/strong><a href=\"#_ftn9\" id=\"_ftnref9\"><strong>[9]<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Einstein lui r\u00e9pondit dans un premier temps qu\u2019un univers sans mati\u00e8re \u00e9tait inconcevable, mais cela allait ouvrir une pol\u00e9mique qui allait \u00eatre de plus stigmatis\u00e9e par la pr\u00e9sence d\u2019une singularit\u00e9 dans la forme propos\u00e9e par De Sitter.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La forme <strong>(1.1<em>)<\/em><\/strong> est manifestement singuli\u00e8re (le d\u00e9terminant s\u2019annule) \u00e0 <strong><em>r = \u03c0R\/2<\/em> <\/strong>o\u00f9,pour des g\u00e9od\u00e9siques radiales nulles, <strong>dr\/dt =0<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette singularit\u00e9, tr\u00e8s mal comprise a donn\u00e9 lieu \u00e0 de longs d\u00e9bats entre Einstein, de Sitter, Klein, Weyl, Lancros, Lema\u00eetre, Robertson et quelques autres<a href=\"#_ftn10\" id=\"_ftnref10\">[10]<\/a>. Deux points de vue s\u2019affrontaient&nbsp;sur la nature de la singularit\u00e9 et l\u2019existence d\u2019une masse \u00e0 l\u2019horizon (pour satisfaire au principe de Mach).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"604\" height=\"341\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3672\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13.jpg 604w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13-300x169.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 604px) 85vw, 604px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour une description historique du d\u00e9bat se r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 Earman J. &amp; Eisenstaedt J. (1999)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme le cite Klein<a href=\"#_ftn11\" id=\"_ftnref11\">[11]<\/a>, Weyl <a href=\"#_ftn12\" id=\"_ftnref12\">[12]<\/a> avait d\u00e9clar\u00e9&nbsp;: \u00abla vitesse de la lumi\u00e8re s\u2019annule&nbsp;sur l\u2019\u00e9quateur de la sph\u00e8re et la forme de la m\u00e9trique de l\u2019univers de De Sitter doit donc \u00eatre singuli\u00e8re&nbsp;\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Effectivement pour une g\u00e9od\u00e9sique radiale nulle <strong>dr\/dt =0<\/strong> \u00e0 l\u2019\u00e9quateur, mais Weyl a une vision confuse de cette singularit\u00e9 et ne tire pas les bonnes conclusions de sa remarque.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les travaux ult\u00e9rieurs vont \u00e9clairer la nature de cette singularit\u00e9. Par ailleurs :<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; Cette forme est statique : Les observateurs \u00e0 coordonn\u00e9es spatiales constante sont statiques.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; La coordonn\u00e9e temps correspond au temps propre de l\u2019observateur pour <strong><em>r = 0<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; Pour <strong><em>r =0<\/em><\/strong>, on se ram\u00e8ne \u00e0 la forme de Minkowski.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; Les sections spatiales (\u00e0 <strong><em>t = constante<\/em><\/strong>) sont l\u2019hypersph\u00e8re de rayon <strong><em>R<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Variantes de la forme statique de De Sitter<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2 = -(1-r\u00b2\/R\u00b2).dt\u00b2 + (1 \u2013r\u00b2\/R\u00b2)<sup>-1<\/sup>.dr\u00b2 + r\u00b2.(d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1.2)<\/strong> <a href=\"#_ftn13\" id=\"_ftnref13\">[13]<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La singularit\u00e9 est \u00e0 <strong>r =R <\/strong>(\u00e9quateur<strong>) <\/strong>dans ces coordonn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A noter la ressemblance de cette forme <strong>(1.2)<\/strong> avec celle de Schwarzschild si on fait (<strong><em>r\u00b2\/R\u00b2 \u2192 R\/r<\/em><\/strong>) o\u00f9 <strong><em>R<\/em><\/strong> serait le rayon de Schwarzschild. La coordonn\u00e9e temps tend vers le temps propre pour r\u2192 \u221e pour Schwarzschild au lieu de pour r\u2192 0 pour cette forme <strong>(1.2).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Citons une variante \u00e9galement statique o\u00f9 on utilise l\u2019angle de d\u00e9veloppement <strong><em>\u03c7 = r\/R <\/em><\/strong>\u00e0 la place de <strong><em>r<\/em><\/strong> comme variable, par exemple, celle donn\u00e9e par Einstein<a href=\"#_ftn14\" id=\"_ftnref14\">[14]<\/a>&nbsp;qui est singuli\u00e8re pour<strong> \u03c7&nbsp; = \u03c0\/2<\/strong> ce qui correspond \u00e0 l\u2019\u00e9quateur de l\u2019hypersph\u00e8re (<strong><em>r = \u03c0.R\/2<\/em><\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2= cos\u00b2\u03c7.dt\u00b2 &#8211; R\u00b2 [d\u03c7\u00b2 +sin\u00b2\u03c7 (d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2)]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1.3)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Toutes ces variantes ont globalement les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s que la forme de De Sitter<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Forme non statique de Lancros&nbsp;: 1922<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En s\u2019inspirant des travaux de Klein, Lancros<a href=\"#_ftn15\" id=\"_ftnref15\">[15]<\/a> \u00e9tablit la forme suivante :<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a><strong>ds\u00b2= -d\u03c4\u00b2 + cosh\u00b2\u03c4 (d\u03c8\u00b2 + sin\u00b2\u03c8 (d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2))&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2.1)<\/strong><\/a><a href=\"#_ftn16\" id=\"_ftnref16\"><strong>[16]<\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u03c4 <\/strong>est le temps propre des observateurs \u00e0 coordonn\u00e9es spatiales constantes (\u00ab&nbsp;comobiles&nbsp;\u00bb).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Klein<a href=\"#_ftn17\" id=\"_ftnref17\">[17]<\/a> a cherch\u00e9 une forme en imbriquant l\u2019espace-temps de \u00ab&nbsp;De Sitter&nbsp;\u00bb en l\u2019occurrence un Hyper-hyperbolo\u00efde d\u2019\u00e9quation : <strong>-u\u00b2 +x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 + w\u00b2 = a\u00b2, d<\/strong>ans un espace de Minkowski \u00e0 5 dimensions (quatre d\u2019espace et une de temps) de m\u00e9trique <strong>ds<sub>5<\/sub>\u00b2 = -du\u00b2 + dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2 +dw\u00b2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"671\" height=\"697\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-16.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3677\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-16.jpg 671w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-16-289x300.jpg 289w\" sizes=\"auto, (max-width: 671px) 85vw, 671px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) Il n\u2019y a pas de singularit\u00e9 apparente, mais un calcul simple (ci-dessous) montre qu\u2019il a un horizon des \u00e9v\u00e8nements associ\u00e9 \u00e0 chaque observateur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour illustrer une comparaison avec l\u2019horizon de la forme de De Sitter <strong>(1.3)<\/strong> il faut \u00e9tudier la m\u00eame trajectoire d\u2019un photon (g\u00e9od\u00e9sique nulle) \u00e9mis par un observateur dans les deux syst\u00e8mes de coordonn\u00e9es qu\u2019on va appliquer simultan\u00e9ment sur la vari\u00e9t\u00e9. Fixons les coordonn\u00e9es de l\u2019observateur dans les deux formes. Il est naturel de faire co\u00efncider le point (<strong>\u03c7 = 0, t =0<\/strong>) dans <strong>(1.3)<\/strong> avec (<strong>\u03c8 =0, \u03c4 =0<\/strong>) dans <strong>(2.1) <\/strong>par raison de sym\u00e9triedes formes<strong>.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans ces conditions le calcul montre que l\u2019horizon dans <strong>(2.1)<\/strong> se situe \u00e0 <strong><em>\u03c8 = \u03c0\/2<\/em><\/strong>, alors que la singularit\u00e9 exprim\u00e9e par la forme <strong>(1.3) <\/strong>se situe \u00e0&nbsp;<strong>\u03c7 = \u03c0\/2. <\/strong>On note la parfaite concordance.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">b) Comme on le remarque, la forme <strong>(2.1)<\/strong> n\u2019est plus statique (d\u00e9pend du temps propre).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">c) Les <strong>observateurs<\/strong> \u00ab&nbsp;comobiles&nbsp;\u00bb <strong>sont en chute libre<\/strong>, puisque la coordonn\u00e9e temps est le temps propre.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">d) Les sections spatiales sont des hypersph\u00e8res de rayon d\u00e9pendant du temps (S<sup>3<\/sup>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e) Contrairement \u00e0 <strong>(2.1-.3),<\/strong> la solution est spatialement ouverte (<strong>cosh\u00b2\u03c4<\/strong>\u2192 <strong>\u221e <\/strong>quand<strong> \u03c4\u2192 \u00b1 \u221e<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">f) <a>La forme d\u00e9crit toute la vari\u00e9t\u00e9 (extension analytique maximale)<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Calcul du rayon de l\u2019horizon<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut calculer cet horizon pour un rayon re\u00e7u (horizon du pass\u00e9) ou \u00e9mis (horizon du futur). La forme de Lancros est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 <strong>\u03c4<\/strong>= 0.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>a)<\/strong> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Consid\u00e9rons un observateur \u00e0 <strong>\u03c4<\/strong> <strong>= 0<\/strong> et <strong>\u03c8<\/strong> <strong>=0<\/strong>. Du fait de la sym\u00e9trie, les distances d\u2019horizons du pass\u00e9 et du futur seront \u00e9gales dans ce cas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce ne sera pas le cas pour un observateur quelconque (on illustrera bri\u00e8vement ce cas).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Calculons le temps mis par un rayon lumineux \u00e9mis radialement au temps <strong>t<sub>e<\/sub>, <\/strong>\u00e0 une distance angulaire <strong>\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong> d\u2019un observateur, vers cet observateur (situ\u00e9 \u00e0 <strong>\u03c8<\/strong> =0) et re\u00e7u par lui \u00e0 <strong>\u03c4 =0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2= -d\u03c4\u00b2 + cosh\u00b2\u03c4.d\u03c8\u00b2 =0 , <\/strong>\u2192 <strong>d\u03c4\u00b2\/cosh\u00b2\u03c4 = d\u03c8\u00b2,\u2192 d\u03c4\/cosh\u03c4&nbsp; =\u00b1d\u03c8.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On va s\u2019int\u00e9resser \u00e0 la propagation vers les<strong> \u03c8<\/strong> croissants (<strong>d\u03c8\/ d\u03c4&gt;0<\/strong>): <strong>d\u03c4\/cosh\u03c4&nbsp; =+d\u03c8<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il faut int\u00e9grer<a href=\"#_ftn18\" id=\"_ftnref18\">[18]<\/a> le long du chemin de<strong> \u03c8<\/strong>&nbsp;&nbsp;= <strong>\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp; \u00e0&nbsp; <strong>\u03c8<\/strong>&nbsp;= 0, (<strong>\u03c4<\/strong>=<strong>t<sub>e<\/sub> \u00e0 \u03c4 =0)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u222b<\/strong> <sub>te<\/sub><sup>0<\/sup><strong> d\u03c4 \/ cosh\u03c4&nbsp; = [2arctg (exp(\u03c4))]<\/strong><sub> te<\/sub><sup>0 <\/sup>=<strong>\u222b <sub>\u03c8<\/sub><\/strong><sub> H <\/sub><sup>0<\/sup><strong>&nbsp; d\u03c8 <\/strong>=<strong> &#8211; \u03c8<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si t<sub>e<\/sub>,\u2192 -\u221e, ce qui correspond l\u2019horizon du pass\u00e9 des \u00e9v\u00e8nements, on obtient:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>[2arctg (exp(\u03c4))]<\/strong>-\u221e<sup>0 <\/sup>= <strong>2arctg (exp(0)) &#8211; 2arctg (exp(<\/strong>-\u221e<strong>)) = 2.\u03c0\/4 \u2013 0 = \u03c0\/2 = -\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans l\u2019autre sens (horizon du futur) on aurait eu <strong>\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp; = <strong>\u03c0\/2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette valeur de <strong>\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp; = <strong>\u03c0\/2 <\/strong>correspond bien \u00e0 celle de la singularit\u00e9 de la forme <strong>(1.3)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Si l\u2019observateur est quelconque <strong>\u03c8<\/strong>&nbsp;&nbsp;= <strong>\u03c8<sub> r<\/sub><\/strong> et (<strong>\u03c4<\/strong>=<strong>t<sub>r<\/sub><\/strong>)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u222b<\/strong> <sub>te<\/sub><sup>tr<\/sup><strong> d\u03c4 \/ cosh\u03c4&nbsp; = [2arctg (exp(\u03c4))]<\/strong><sub> te<\/sub><sup>tr <\/sup>=<strong>\u222b <sub>\u03c8<\/sub><\/strong><sub> H <\/sub><strong><sup>\u03c8 r<\/sup>&nbsp; d\u03c8 <\/strong>=<strong> \u03c8<sub> r<\/sub> &#8211; \u03c8<sub> H<\/sub><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si t<sub>e<\/sub>,\u2192 -\u221e, ce qui correspond l\u2019horizon du pass\u00e9 des \u00e9v\u00e8nements,<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u03c8<\/strong><strong><sub> H<\/sub><\/strong> = <strong>\u03c8<\/strong><strong><sub> r<\/sub><\/strong><strong> &#8211; 2arctg (exp(tr))<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On voit que<strong> \u03c8<sub> r<\/sub> &#8211; \u03c8<sub> H<\/sub><\/strong> &nbsp;ne d\u00e9pend que de<strong> t<sub>r<\/sub><\/strong>. (Classes d\u2019observateurs)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On pourrait calculer l\u2019horizon du futur par la m\u00eame m\u00e9thode: observateur de coordonn\u00e9es <strong>&nbsp;\u03c8<\/strong>&nbsp;= <strong>\u03c8<sub> e<\/sub><\/strong> et (<strong>\u03c4<\/strong>=<strong>t<sub>e<\/sub><\/strong>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u222b<\/strong> <sub>te<\/sub><sup>tr<\/sup><strong> d\u03c4 \/ cosh\u03c4&nbsp; = [2arctg (exp(\u03c4))]<\/strong><sub> te<\/sub><sup>tr <\/sup>=<strong>\u222b <sub>\u03c8<\/sub><\/strong><sub> e <\/sub><strong><sup>\u03c8 <\/sup><\/strong><sup>H<\/sup><strong>&nbsp; d\u03c8 <\/strong>=<strong> \u03c8<sub> H<\/sub> &#8211; \u03c8<sub> e<\/sub><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si t<sub>r<\/sub>,\u2192 \u221e, ce qui correspond l\u2019horizon du futur des \u00e9v\u00e8nements,&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u03c8<sub> H<\/sub><\/strong> &#8211; <strong>\u03c8<sub> e<\/sub>&nbsp; = 2arctg (exp(\u221e)) &#8211; 2arctg (exp(t<sub>e<\/sub>)) = \u03c0\/2 &#8211; [2arctg (exp(t<sub>e<\/sub>))]<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On voit que pour <strong>t<sub>e<\/sub><\/strong> ,\u2192 \u221e, <strong>2arctg (exp(t<sub>e<\/sub>))<\/strong> \u2192 <strong>\u03c0\/2<\/strong>\u2192<strong> \u03c8<sub> H<\/sub><\/strong> &#8211; <strong>\u03c8<sub> e<\/sub>&nbsp; <\/strong>\u2192<strong> \u03c0\/2 &#8211; \u03c0\/2<\/strong> \u2192 0<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce qui \u00e9tait intuitivement pr\u00e9visible, compte tenu de l\u2019expansion \u00ab&nbsp;exponentielle&nbsp;\u00bb quand <strong>t \u2192 \u221e,<\/strong> celle-ci cro\u00eet si rapidement que l\u2019horizon des \u00e9v\u00e8nements pour chaque observateur tend vers z\u00e9ro. L\u2019univers devient totalement causalement d\u00e9connect\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cela \u00e9claire la nature de la singularit\u00e9 not\u00e9e par Weyl. Dans cette forme, on ne peut pas parler \u00ab&nbsp;d\u2019annulation&nbsp;\u00bb de la vitesse de lumi\u00e8re localement sur cet \u00ab&nbsp;horizon&nbsp;\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Simplement l\u2019expansion fait que pour cette distance (entre l\u2019observateur et l\u2019horizon associ\u00e9), l\u2019accroissement \u00ab&nbsp;spatial&nbsp;\u00bb de la g\u00e9od\u00e9sique par intervalle de temps <strong><em>dt<\/em><\/strong> vaut <strong><em>c.dt<\/em><\/strong> (autrement dit pendant que le photon juste \u00e9mis parcourt <strong><em>c.dt,<\/em><\/strong> du fait de l\u2019accroissement de <strong><em>c.dt<\/em><\/strong> de la g\u00e9od\u00e9sique, la distance \u00e0 parcourir reste la m\u00eame, le photon fait du surplace vis-\u00e0-vis de l\u2019observateur distant, il ne l\u2019atteindra jamais).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On voit que cela s\u2019\u00e9value par une int\u00e9grale sur le chemin \u00e0 parcourir.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce qui fait qu\u2019au-del\u00e0 de cet horizon aucun signal vers l\u2019observateur ne peut l\u2019atteindre, (c\u2019est un horizon des \u00e9v\u00e8nements) mais cela n\u2019est <strong>pas une vraie singularit\u00e9, des g\u00e9od\u00e9siques le traversent dans les deux sens <\/strong>: cet horizon est propre \u00e0 cet observateur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En effet \u00e0 la diff\u00e9rence d\u2019un horizon comme celui de la solution de Schwarzschild qui est le m\u00eame pour tous les observateurs ext\u00e9rieurs, celui est propre \u00e0 chaque observateur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette forme montre la vraie nature de cette singularit\u00e9 qui n\u2019est autre que la limite de l\u2019univers observable pour un observateur donn\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><strong>Formes avec section spatiale ouverte<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il existe une forme avec k = -1 dans les \u00e9quations de Friedmann-Lema\u00eetre&nbsp;: elle s\u2019\u00e9crit&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2= -d\u03c4\u00b2 + sinh\u00b2\u03c4 (d\u03c8\u00b2 + sinh\u00b2\u03c8 (d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2))<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans cette forme, les sections spatiales sont de type hyperbolique (H<sup>3<\/sup>).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"604\" height=\"341\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3673\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13.jpg 604w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13-300x169.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 604px) 85vw, 604px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La forme d\u00e9crit toute la vari\u00e9t\u00e9 (extension analytique maximale)<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Forme de Lema\u00eetre<\/a><a href=\"#_ftn19\" id=\"_ftnref19\"><strong>[19]<\/strong><\/a> (1925)- Robertson(1928)<\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lema\u00eetre n\u2019appr\u00e9ciait pas la forme originale (1) car elle semblait privil\u00e9gier un centre fixe<a href=\"#_ftn20\" id=\"_ftnref20\">[20]<\/a>,&nbsp; alors qu\u2019elle \u00e9tait manifestement spatialement homog\u00e8ne.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il a cherch\u00e9, ind\u00e9pendamment des travaux de Lancros dont il n\u2019a pas eu connaissance, une expression qui refl\u00e9tait la sym\u00e9trie de la solution, il a propos\u00e9<a href=\"#_ftn21\" id=\"_ftnref21\">[21]<\/a>:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2 = -dt\u00b2 + exp(2t\/R).(dr\u00b2 + r\u00b2(d\u03b8\u00b2 + sin\u00b2\u03b8.d\u03c6\u00b2))&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3.1)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) Il n\u2019y a pas de singularit\u00e9 apparente, mais un calcul similaire au pr\u00e9c\u00e9dent montre qu\u2019il a un horizon des \u00e9v\u00e8nements \u00e0 <strong><em>r = R<\/em><\/strong>, ce qui correspond \u00e0 la singularit\u00e9 de la forme <strong>(1.2<em>)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">b) Notons que la forme <strong>(3.1)<\/strong> est \u00e9galement non statique (d\u00e9pend du temps propre).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">c) Les <strong>observateurs<\/strong> \u00ab&nbsp;comobiles&nbsp;\u00bb <strong>sont en chute libre<\/strong>: &nbsp;la coordonn\u00e9e<strong><em> t<\/em><\/strong> est le temps propre.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">d) La solution est spatialement ouverte (<strong>exp(2t\/R) <\/strong>\u2192 <strong>\u221e <\/strong>quand<strong> t\u2192&nbsp; + \u221e<\/strong> ).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e) Les sections spatiales (<strong><em>t = cste<\/em><\/strong>) sont \u00ab euclidiennes&nbsp;\u00bb \u00e0 la diff\u00e9rence de la forme de Lancros.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">f) En fait c\u2019est la m\u00e9trique de Robertson Walker pour <strong><em>k =0<\/em><\/strong> et <strong><em>a\u00b2(t)<\/em><\/strong> = <strong><em>exp(2t\/R)<\/em><\/strong><a href=\"#_ftn22\" id=\"_ftnref22\"><strong><em><strong>[22]<\/strong><\/em><\/strong><\/a><strong><em>.<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La solution ne d\u00e9crit pas toute la vari\u00e9t\u00e9, \u00e0 la diff\u00e9rence de celle donn\u00e9e par Lancros<a href=\"#_ftn23\" id=\"_ftnref23\">[23]<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"604\" height=\"483\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-14.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3674\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-14.jpg 604w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-14-300x240.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 604px) 85vw, 604px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Calcul du rayon de l\u2019horizon<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C\u2019est le m\u00eame type de calcul que pr\u00e9c\u00e9demment.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette forme ne poss\u00e8de pas la sym\u00e9trie de celle de Lancros.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Faisons le calcul pour un observateur particulier <strong>r = 0<\/strong> et <strong>t = 0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Calculons le temps mis par un rayon lumineux \u00e9mis radialement au temps <strong>t = 0 <\/strong>par un observateur situ\u00e9 \u00e0 <strong>r = 0, <\/strong>et re\u00e7u \u00e0<strong> t<sub>r<\/sub> <\/strong>\u00e0 une distance <strong>r<sub>H<\/sub><\/strong>&nbsp; de cet observateur.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>ds\u00b2= dt\u00b2 &#8211; exp(2t\/R).dr\u00b2 =0&nbsp; <\/strong>\u2192 <strong>dt\u00b2\/exp(2t\/R) = dr\u00b2\u2192&nbsp; dt. exp(-t\/R) =dr,<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il faut int\u00e9grer le long du chemin de r = <strong>r<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp; \u00e0 r = 0, (t = <strong>t<sub>e <\/sub><\/strong>\u00e0<strong> t =0).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>\u222b<\/strong> <sub>0<\/sub><sup>tr<\/sup><strong> dt.exp(-t\/R) = &#8211; [R.exp(-t\/R)]<\/strong><sub> 0<\/sub><sup>tr <\/sup>=<strong>\u222b <sub>0<\/sub><\/strong><sup>rH<\/sup><strong> dr, <\/strong>=<strong> r<sub> H<\/sub><\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si t<sub>r <\/sub>\u2192 \u221e, ce qui correspond \u00e0 un horizon des \u00e9v\u00e8nements, on obtient&nbsp;:&nbsp; <strong>r<sub> H<\/sub>&nbsp; = R<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette valeur de <strong>r<sub> H<\/sub><\/strong> correspond bien \u00e0 celle de la singularit\u00e9 de la forme <strong>(1.2)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il est facile de v\u00e9rifier que ce calcul s\u2019adapte facilement au cas g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour un temps infini, cet horizon se r\u00e9duit \u00e0 z\u00e9ro comme dans le cas de la forme de Lancros.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Commentaires sur la diversit\u00e9 des formes<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Toutes ces formes d\u00e9crivent le m\u00eame espace-temps, mais dans des coordonn\u00e9es diff\u00e9rentes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La diversit\u00e9 de g\u00e9om\u00e9trie et de topologie des sections spatiales de ses formes, d\u00e9crivant le m\u00eame espace-temps, montre que c\u2019est l\u2019espace-temps qui a une r\u00e9alit\u00e9 physique et pas on feuilletage en temps et espace. Il ne faut donc pas trop s\u2019en pr\u00e9occuper pour en d\u00e9duire des caract\u00e9ristiques physiques<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\">L\u2019espace-temps de \u00ab&nbsp;De Sitter&nbsp;\u00bb est-il vraiment une solution des \u00e9quations d\u2019Einstein&nbsp;?<\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dans le chapitre pr\u00e9c\u00e9dent nous n\u2019avons utilis\u00e9 que des crit\u00e8res g\u00e9n\u00e9raux g\u00e9om\u00e9triques sur les vari\u00e9t\u00e9s, <strong>sans faire intervenir \u00e0 quelque moment que ce soit la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons trouv\u00e9 une solution o\u00f9 les contraintes li\u00e9es \u00e0 la sym\u00e9trie d\u00e9terminent la forme m\u00e9trique de cet espace-temps (le seul param\u00e8tre libre est la valeur de la courbure&nbsp;: elle d\u00e9finit compl\u00e8tement la vari\u00e9t\u00e9).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme \u00e0 aucun moment nous n\u2019avons utilis\u00e9 la Relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale pour \u00e9tablir la solution compl\u00e8te correspondant \u00e0 l\u2019univers \u00ab&nbsp;De Sitter&nbsp;\u00bb<strong>, nous pouvons d\u00e9clarer que l\u2019Univers de \u00ab&nbsp;De Sitter&nbsp;\u00bb n\u2019est pas une solution de la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein avec constante cosmologique<strong> \u039b<\/strong> dans le vide (De Sitter) s\u2019\u00e9crit :<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>R<sub>\u03bc\u03bd<\/sub> \u2013 \u00bd g<sub>\u03bc\u03bd<\/sub> (R -2\u039b) = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (5-1)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En \u00e9levant un indice et en contractant on obtient&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>R \u2013 2R + 4 \u039b = 0 \u2192 R = 4 \u039b<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>(4-2) <\/strong>nous donne la courbure normalis\u00e9e :<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>K = R\/n(n-1) = R\/4.3 = R\/12 = \u039b\/3<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette solution satisfait l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein car le tenseur d\u2019Einstein a \u00e9t\u00e9 construit \u00e0 partir du tenseur de Ricci, du scalaire de Ricci et la m\u00e9trique, pour obtenir un tenseur de divergence covariante nulle. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si dans cette construction, on ajoute une constante au scalaire de Ricci, par exemple, la divergence du nouveau tenseur ainsi construit va satisfaire \u00e9galement \u00e0 la condition de divergence nulle. Nous avons toute une classe de \u00ab&nbsp;tenseurs d\u2019Einstein&nbsp;\u00bb potentiellement valides pour son \u00e9quation, correspondant \u00e0 une classe d\u2019univers (diff\u00e9renti\u00e9s entre autres par la condition de courbure \u00e0 la limite lorsque la densit\u00e9 de mati\u00e8re \u2192 0).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Elle permet de relier la constante cosmologique au scalaire de Ricci, dans le cadre de cette \u00e9quation, mais notons que cette information ne nous a absolument pas servi dans l\u2019\u00e9tablissement de la solution (seul le signe de la courbure a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si la constante cosmologique avait un sens physique<a href=\"#_ftn24\" id=\"_ftnref24\">[24]<\/a> l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein apporterait quelque chose en reliant un param\u00e8tre g\u00e9om\u00e9trique (la courbure) \u00e0 un param\u00e8tre physique, mais ce n\u2019est pas le cas.&nbsp; <strong>L\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein n\u2019a donc pas de valeur ajout\u00e9e sur cet aspect. <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Rappelons qu\u2019en Relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, pour chercher une solution, nous devons utiliser une m\u00e9trique \u00ab&nbsp;g\u00e9n\u00e9rique\u00bb \u00e0 priori dont on sp\u00e9cifie la forme \u00e0 partir d\u2019un certain nombre de consid\u00e9rations g\u00e9om\u00e9triques \u00e0 priori sur une Vari\u00e9t\u00e9 \u00ab&nbsp;g\u00e9n\u00e9rique&nbsp;\u00bb dont on induit qu\u2019elle va servir de trame \u00e0 notre solution, et qu\u2019on applique l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein pour contraindre (par la mati\u00e8re \u00e9nergie) ces \u00e9l\u00e9ments g\u00e9n\u00e9riques pour obtenir si possible une solution compl\u00e8tement d\u00e9finie.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette contrainte ne porte que sur la trace du tenseur de Riemann, (pas sur le tenseur de Weyl)&nbsp; trace qui est nulle en cas de solution dans le vide.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut donc se demander si une solution dans le vide est une solution de la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale, ou si elle est simplement une solution g\u00e9om\u00e9trique, exprim\u00e9e dans le formalisme de la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale (La mati\u00e8re n\u2019apporte aucune contrainte \u00e0 la partie g\u00e9om\u00e9trique de l\u2019\u00e9quation, qui est compl\u00e8tement d\u00e9finie par la m\u00e9trique).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On remarque par exemple, que des travaux comme la classification de Petrov qui s\u2019appuient sur le tenseur de Weyl, le font sur des consid\u00e9rations purement g\u00e9om\u00e9triques qui n\u2019ont rien \u00e0 voir avec la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale. Il convient donc d\u2019\u00eatre attentif aux apports respectifs.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>L\u2019ind\u00e9pendance de la solution De Sitter vis-\u00e0-vis de la Relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale sauve t\u2019elle le principe de Mach&nbsp;?<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Einstein pr\u00e9tend qu\u2019une solution d\u2019espace-temps ne saurait exister sans mati\u00e8re.&nbsp; Cette mati\u00e8re d\u00e9termine le tenseur m\u00e9trique <strong>g<sub>\u03bc\u03bd<\/sub><\/strong> et cr\u00e9e l\u2019inertie. Ici c\u2019est la sym\u00e9trie de la solution qui d\u00e9termine la m\u00e9trique, sans recours \u00e0 l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein, cela ne plaide t\u2019il pas en faveur d\u2019une non contradiction de la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale avec le principe de Mach ?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cela ne r\u00e9sout pas tout, car des solutions comme celle de Schwarzschild posent \u00e9galement un s\u00e9rieux probl\u00e8me. Une masse unique peut elle avoir une inertie&nbsp;?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La solution de Schwarzschild ne r\u00e9pond pas \u00e0 cette question, le param\u00e8tre de masse qu\u2019on calcule pour la singularit\u00e9 centrale ne correspond pas \u00e0 une masse inerte, mais \u00e0 une masse gravitationnelle active qui se calcule d\u2019ailleurs \u00e0 partir de crit\u00e8res g\u00e9om\u00e9triques (Int\u00e9grale de Komar). L\u00e0 encore il y a mati\u00e8re \u00e0 r\u00e9flexion sur la compatibilit\u00e9 avec le principe de Mach dans cette solution. Elle g\u00e9n\u00e8rerait l\u2019inertie pour les autres masses, (encore que le probl\u00e8me du mouvement de particules dans un champ soit un probl\u00e8me complexe) mais l\u2019histoire ne dit pas si elle en a une.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Energie du vide et inertie<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quand on consid\u00e8re les diff\u00e9rents types d\u2019espace-temps en Cosmologie Relativiste et les \u00e9quations de Friedmann Lema\u00eetre, on d\u00e9duit une relation importante (conservation covariante de l\u2019\u00e9nergie):<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>d(\u03c1.a<sup>3<\/sup>)\/dt = &#8211; p.d(a<sup>3<\/sup>)\/dt&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; \u2192&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dU + P.dV =0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (7-1)<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">o\u00f9 <strong><em>\u03c1 <\/em><\/strong>est la densit\u00e9 d\u2019\u00e9nergie et <strong><em>a<\/em><\/strong>(t) le facteur d\u2019\u00e9chelle d\u00e9pendant de <strong>t<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En interpr\u00e9tant de fa\u00e7on thermodynamique cette relation, elle exprime la relation entre la variation d\u2019\u00e9nergie contenue dans un volume comobile <strong><em>U = \u03c1.a<sup>3<\/sup><\/em><\/strong>&nbsp; (membre de gauche) et le travail fourni (membre de droite) <strong><em>P.dV= p.d(a<sup>3<\/sup>)<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour l\u2019\u00e9nergie du vide (constante cosmologique) le fluide est \u00e0 densit\u00e9 constante <strong><em>\u03c1<sub>v<\/sub> <\/em><\/strong>et de pression<strong><em> p<sub>v<\/sub> = &#8211; \u03c1<sub>v<\/sub>. <\/em><\/strong>L\u2019\u00e9quation (7-1) s\u2019\u00e9crit&nbsp;: <strong><em>dU + P.dV \u2261 0.<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ceci fait dire que l\u2019\u00e9nergie du vide n\u2019a pas d\u2019inertie (pas de masse inerte).<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>L\u2019univers de \u00ab&nbsp;De Sitter&nbsp;\u00bb est-il statique ou dynamique&nbsp;?<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il semble difficile de donner un sens physique \u00e0 cette question, puisque pour une m\u00eame solution, comme nous l\u2019avons vu, cela d\u00e9pend de la forme de la m\u00e9trique qu\u2019on utilise&nbsp;: Certaines sont statiques d\u2019autres dynamiques.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Rappelons qu\u2019on peut d\u00e9crire synth\u00e9tiquement la vari\u00e9t\u00e9 sans avoir \u00e0 privil\u00e9gier une quelconque des coordonn\u00e9es par sa courbure (4D) qui est constante partout dans la vari\u00e9t\u00e9 du fait de l\u2019homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 de la solution.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De toute fa\u00e7on les coordonn\u00e9es, ne sont que des \u00e9tiquettes pour rep\u00e9rer les points de la vari\u00e9t\u00e9 qui inclut l\u2019espace et le temps et du fait de la covariance il n\u2019y a aucune raison de privil\u00e9gier une de ses coordonn\u00e9es individuellement.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Que dans une forme de la m\u00e9trique, la partie spatiale d\u00e9pende du temps ou l\u2019inverse n\u2019est finalement qu\u2019un probl\u00e8me g\u00e9om\u00e9trique d\u2019agencement interne.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Que d\u00e9finit vraiment la Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale&nbsp;?<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les g\u00e9od\u00e9siques, par exemple, ne sont-elles que des courbes g\u00e9om\u00e9triques qui traduisent simplement une propri\u00e9t\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique (transport parall\u00e8le du vecteur tangent). La g\u00e9od\u00e9sique d\u00e9finie comme extremum local d\u2019une courbe utilise une m\u00e9trique et l\u2019\u00e9quivalence des deux concepts<a href=\"#_ftn25\" id=\"_ftnref25\">[25]<\/a> se fait \u00e0 travers l\u2019identification des coefficients de connexion affines et m\u00e9triques.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les particules de test qu\u2019on introduit pour tracer la dynamique interne, font elles partie de la th\u00e9orie ou sont-elles un ajout, n\u00e9cessit\u00e9 par le souci de faire de la physique&nbsp;?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour les univers non vides l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein, par la pr\u00e9sence du tenseur \u00e9nergie impulsion, munit la solution d\u2019un caract\u00e8re physique et le probl\u00e8me de sa dynamique a un sens physique.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En particulier le r\u00e9f\u00e9rentiel chute libre est mat\u00e9rialis\u00e9<a href=\"#_ftn26\" id=\"_ftnref26\">[26]<\/a> et d\u00e9termin\u00e9 par la mati\u00e8re \u00e9nergie ce qui donne un sens physique au mouvement de particules de test par rapport au r\u00e9f\u00e9rentiel.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L\u2019\u00e9quation du mouvement (<strong>T<sup>\u03bc\u03bd<\/sup><sub>;<\/sub> <sub>\u03bd <\/sub><\/strong>= 0) se d\u00e9duit du tenseur&nbsp; \u00e9nergie impulsion d\u2019un fluide.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour les univers vides, les \u00ab&nbsp;particules de test&nbsp;\u00bb mat\u00e9rialisant les g\u00e9od\u00e9siques, ont-elles une motivation physique, alors qu\u2019aucun \u00e9l\u00e9ment physique n\u2019intervient dans la construction de la solution<a href=\"#_ftn27\" id=\"_ftnref27\">[27]<\/a>&nbsp;?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A priori les g\u00e9od\u00e9siques nulles sont plus appropri\u00e9es pour d\u00e9crire ces espaces<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le temps propre (grandeur \u00e0 4 dimensions \u00e0 qui on peut attribuer un caract\u00e8re physique : on sait le mesurer) est un param\u00e8tre affine privil\u00e9gi\u00e9 pour baliser les g\u00e9od\u00e9siques temporelles physiques.&nbsp; Cette propri\u00e9t\u00e9 ne structure-t-elle pas la forme de la m\u00e9trique, en privil\u00e9giant celle o\u00f9 la variable temps est le temps propre (Observateurs en chute libre)<a href=\"#_ftn28\" id=\"_ftnref28\">[28]<\/a>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale est assez ambigu\u00eb l\u00e0-dessus, d\u2019autant qu\u2019on sait que les \u00ab&nbsp;bonnes&nbsp;\u00bb variables ne peuvent \u00eatre que globales, du fait de l\u2019invariance par diff\u00e9omorphisme. Son utilisation pour faire de la physique \u00e9chappe t-elle \u00e0 une interpr\u00e9tation de la th\u00e9orie&nbsp;?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Et alors quid des autres types de g\u00e9od\u00e9siques et des lignes d\u2019univers non g\u00e9od\u00e9siques<a href=\"#_ftn29\" id=\"_ftnref29\">[29]<\/a>?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On voit que souvent (mais pas toujours) on est plus \u00e0 l\u2019aise avec une forme o\u00f9 la coordonn\u00e9e temps est le temps propre des observateurs associ\u00e9s \u00e0 cette forme. Mais n\u2019est-ce pas que simple commodit\u00e9 ou habitude issue des m\u00e9thodes classiques. La Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale clamant haut et fort que tous les r\u00e9f\u00e9rentiels se valent, nous incite \u00e0 ne pas tirer de conclusions g\u00e9n\u00e9rales d\u2019\u00e9l\u00e9ments sp\u00e9cifiques \u00e0 cette approche, avant d\u2019en avoir v\u00e9rifi\u00e9 la port\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>9 Conclusion sur l\u2019espace-temps de De Sitter<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons vu que l\u2019horizon de la solution de l\u2019univers de De Sitter \u00e9tait fictif. Par ailleurs nous avons discut\u00e9 du caract\u00e8re relativiste de cette solution et montr\u00e9 que cela n\u2019\u00e9tait pas si \u00e9vident que cela.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Chapitre 3&nbsp;: Espace-temps anti-De Sitter<\/a><a href=\"#_ftn30\" id=\"_ftnref30\"><sup><strong><sup>[30]<\/sup><\/strong><\/sup><\/a><\/h1>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Etablissement de la m\u00e9trique<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme pour l\u2019espace-temps de De Sitter, d\u00e9finissons une vari\u00e9t\u00e9 fictive plate \u00e0 5 dimensions de m\u00e9trique&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">ds<sub>5<\/sub> = -u\u00b2-v\u00b2 \u00b0x\u00b2+y\u00b2+z\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">et imbriquons un hyperbolo\u00efde d\u00e9fini par&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">-u\u00b2 -v\u00b2 +x\u00b2+y\u00b2+z\u00b2 = -\u03b1\u00b2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Remarquons les 3 signes n\u00e9gatifs.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous allons d\u00e9finir des coordonn\u00e9es {t\u2019, <a>\u03c1, \u03b8, \u03c6<\/a>} sur l\u2019hyperbolo\u00efde par&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>u = <\/a>\u03b1 sin(t\u2019) cosh(\u03c1)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">v = \u03b1 cos(t\u2019) cosh(\u03c1)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a>x = <\/a>\u03b1 sinh(\u03c1) cos(\u03b8)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">y = \u03b1 sinh(\u03c1) sin(\u03b8).cos(\u03c6)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">x = \u03b1 sinh(\u03c1) sin(\u03b8).sin(\u03c6)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">qui d\u00e9finissent une m\u00e9trique sur l\u2019hyperbolo\u00efde de la forme&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">ds\u00b2 = \u03b1\u00b2(-cosh\u00b2(\u03c1)dt\u2019\u00b2+d\u03c1\u00b2 + sinh\u00b2(\u03c1)d\u03a9<sub>2<\/sub>\u00b2)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Notons que <em>t\u2019<\/em>est p\u00e9riodique, ce qui n\u2019est pas trivial. Selon (2) on voit que <em>t\u2019<\/em> et <em>t\u2019<\/em> + 2\u03c0 d\u00e9finissent le m\u00eame endroit sur l\u2019hyperbolo\u00efde. Comme \u2202<sub>t\u2019<\/sub> est de type temps partout, une courbe \u00e0 coordonn\u00e9es {\u03c1, \u03b8, \u03c6} constantes, lorsque que t\u2019 va cro\u00eetre, va \u00eatre une courbe ferm\u00e9e. [31]<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"663\" height=\"489\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-12.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3671\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-12.jpg 663w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-12-300x221.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 663px) 85vw, 663px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cependant, ce n\u2019est pas une propri\u00e9t\u00e9 intrins\u00e8que de cet espace-temps mais un artefact de la mani\u00e8re dont nous avons d\u00e9riv\u00e9 la m\u00e9trique d\u2019une imbrication particuli\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il est souhaitable de consid\u00e9rer cet espace-temps de recouvrement de cette vari\u00e9t\u00e9 avec la m\u00e9trique d\u00e9finie en (3) qui permet de faire varier <em>t\u2019<\/em> de -\u221e \u00e0 + \u221e o\u00f9 il n\u2019y a pas de courbes ferm\u00e9es dans cet espace-temps que nous d\u00e9finirons comme l\u2019espace-temps anti-De Sitter.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Diagramme conforme de la m\u00e9trique<\/a><\/h1>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"375\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1-1024x375.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3683\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1-1024x375.png 1024w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1-300x110.png 300w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1-768x282.png 768w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-1.png 1034w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"192\" height=\"185\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-2.jpeg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3675\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>Figure 1. Diagramme conforme de l\u2019espace-temps anti De Sitter. Les sections d\u2019espace ont la topologie de R\u00b2, que nous avons repr\u00e9sent\u00e9 en coordonn\u00e9es polaires, ce qui fait que les points du diagramme repr\u00e9sentent des 2-sph\u00e8res except\u00e9 pour le bord gauche o\u00f9 ce sont des points&nbsp;\u00e0 l\u2019origine de l\u2019espace. L\u2019infini, \u00e0 droite, est une surface de type temps<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Contrairement \u00e0 De Sitter, la coordonn\u00e9e radiale appara\u00eet dans le facteur conforme. De plus, pour anti-De Sitter, la coordonn\u00e9e <em>t\u2019 <\/em>varie de moins l\u2019infini \u00e0 plus l\u2019infini, tandis que la plage de la coordonn\u00e9e radiale vaut&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"338\" height=\"70\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3685\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-2.png 338w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-2-300x62.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 338px) 85vw, 338px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donc, anti-de Sitter est en relation avec la moiti\u00e9 de l\u2019univers statique d\u2019Einstein.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le diagramme est repr\u00e9sent\u00e9 sur la figure 1, qui illustre quelques g\u00e9od\u00e9siques de type temps et espace repr\u00e9sentatives passant par le point t\u2019 = 0, \u03c7 = 0. Comme \u03c7 varie seulement de 0 jusqu\u2019\u00e0 <a>\u03c0\/2, <\/a>au lieu de \u03c0, une section spatiale de cet espace-temps a la topologie de l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un h\u00e9misph\u00e8re de S<sup>3<\/sup>&nbsp;; c.a.d, est de topologie R<sup>3<\/sup> (et l\u2019espace-temps complet a donc la topologie R<sup>4<\/sup>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Notons que nous avons repr\u00e9sent\u00e9 le diagramme en coordonn\u00e9es polaires, tel qu\u2019un point \u00e0 gauche repr\u00e9sente un point \u00e0 l\u2019origine spatiale, tandis qu\u2019un sur la droite repr\u00e9sente une 2-sph\u00e8re \u00e0 l\u2019infini spatial.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Propri\u00e9t\u00e9s originales de l\u2019espace-temps AdS<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une propri\u00e9t\u00e9 int\u00e9ressante d\u2019anti-de-Sitter est que l\u2019infini est une hypersurface de type temps d\u00e9finie par \u03c7 = \u03c0\/2. Comme l\u2019infini est de type temps, l\u2019espace n\u2019est pas globalement hyperbolique, ce qui ne correspond pas \u00e0 un probl\u00e8me, avec une valeur initiale, bien pos\u00e9 en termes d\u2019information sp\u00e9cifi\u00e9 sur la section spatiale, du fait que de l\u2019information, venant de l\u2019infini, peut toujours entrer. Une autre propri\u00e9t\u00e9 int\u00e9ressante est que la carte exponentielle n\u2019est pas sur l\u2019espace-temps global, des g\u00e9od\u00e9siques telles que celles dessin\u00e9es sur la figure 1, qui sont issues d\u2019un certain point ne couvrent pas toute la vari\u00e9t\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les g\u00e9od\u00e9siques de type temps, orient\u00e9es vers le futur, peuvent initialement se poursuivre radialement vers l\u2019ext\u00e9rieur, de t\u2019 = 0, \u03c7 = 0, mais \u00e9ventuellement se refocaliser au point t\u2019 = \u03c0,&nbsp; \u03c7 = 0 et vont donc se poursuivre radialement vers l\u2019ext\u00e9rieur \u00e0 nouveau.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"679\" height=\"473\" src=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-15.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-3676\" srcset=\"https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-15.jpg 679w, https:\/\/vous-avez-dit-bigbang.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-15-300x209.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 679px) 85vw, 679px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce diagramme, dans ces coordonn\u00e9es, montrent comment un observateur (ici celui dont la ligne d\u2019univers est la droite verticale au centre, sort du c\u00f4ne de lumi\u00e8re, qui s\u2019\u00e9vase asymptotique parall\u00e8le \u00e0 une droite horizontale \u00e0&nbsp; tau = \u03c0\/2, pour <a>tau &gt; <\/a>\u03c0\/2.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sortant du c\u00f4ne de lumi\u00e8re, la causalit\u00e9 par rapport \u00e0 des conditions initiales d\u00e9finies au sommet du c\u00f4ne,&nbsp; la situation devient impr\u00e9dictible.<\/p>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading\"><a>Correspondance ADS\/CFT<\/a><\/h1>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Accessoirement, on ne peut s\u2019emp\u00eacher de souligner que la nature de type temps de l\u2019infini induit une propri\u00e9t\u00e9 remarquable de la th\u00e9orie des cordes, la correspondance AdS\/CFT. AdS est l\u2019espace-temps anti-de-Sitter que nous avons pr\u00e9sent\u00e9 et CFT d\u00e9signe les&nbsp; th\u00e9ories des champs conform\u00e9ment invariantes d\u00e9finies sur le fronti\u00e8re qui, pour un AdS de dimension n, est un espace-temps de dimension (n -1) sur sa fronti\u00e8re&nbsp; \u00e0 droite.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La correspondance AdS\/CFT sugg\u00e8re que, dans une certaine limite, il y a \u00e9quivalence entre une th\u00e9orie de gravit\u00e9 quantique (ou d\u2019une version supersym\u00e9trique d\u2019elle) entre un fond AdS et une th\u00e9orie des champs, conform\u00e9ment invariante, non gravitationnelle, d\u00e9finie sur la fronti\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme nous avons bien plus de connaissances sur les th\u00e9ories quantiques de champs non gravitationnelles que nous en avons sur les th\u00e9ories quantiques gravitationnelles, cette correspondance (si elle s\u2019av\u00e8re v\u00e9rifi\u00e9e ce qui est probable, mais non d\u00e9montr\u00e9) serait d\u2019une grande utilit\u00e9 pour ouvrir une voie vers une th\u00e9orie quantique de la gravitation.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Voir&nbsp;: <a href=\"http:\/\/ncp.edu.pk\/docs\/snwm\/pervez_hoodbhoy_001_ads-space_introductory_moschella.pdf\">http:\/\/ncp.edu.pk\/docs\/snwm\/pervez_hoodbhoy_001_ads-space_introductory_moschella.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour compl\u00e9ment d\u2019information.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a>R\u00e9f\u00e9rences&nbsp;:<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Bronstein I.N &amp; Semandiaev K.A<\/strong> (1982),&nbsp; El\u00e9ments d\u2019analyse math\u00e9matiques, In \u00ab&nbsp;Aide m\u00e9moire de math\u00e9matiques&nbsp;\u00bb, 7\u00e8me \u00e9dition (formule 433) p 570&nbsp; (Eyrolles)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Carroll S. M<\/strong> (2004). Spacetime and Geometry. Pearson-Addison Wesley. Maximally symmetric universes p323-329<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>De Sitter. <\/strong><strong>W.<\/strong> (1917a). \u201cOn the relativity of inertia. Remarks Concerning Einstein \u2018s latest hypothesis\u201d. Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Section of Sciences. Proceedings 19:1217-1225<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>De Sitter. W.<\/strong> (1917b). \u201dOn the curvature of space\u201d. Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Section of Sciences. Proceedings 20:229-242<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>De Sitter. W.<\/strong> (1918). \u201cFurther remarks on the solutions of the field Equations of Einstein Theory of gravitation\u201d. Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Section of Sciences. Proceedings 20:1309-1312<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Earman J. &amp; Eisenstaedt J<\/strong>.(1999). Einstein&nbsp; and Singularities. Stud.Hist.Mod.Phys. Vol 30.N\u00b02 pp185-235. Elsevier Science Ltd GB<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Eisenstaedt J<\/strong>.(1993) \u00ab\u00a0Lema\u00eetre and the Schwarzschild Solution.\u00a0\u00bb In <em>New Studies in the History of General Relativity. Proceedings of the Third International Conference on the History and Philosophy of General Relativity.<\/em>Einstein Studies, Vol. 5, John Earman, Michel Janssen, and John D. Norton, eds. Boston: Birkh\u00e4user,<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Eisenstaedt J. (<\/strong>2003). Einstein et la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, les chemins de l\u2019espace-temps. P 254.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Gourgoulhon E.<\/strong> Cours de Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale IAP (2013-2014) chapitre 7 p.167-201 (figures 7-1, \u00e0 7-8)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Klein F.<\/strong>(1918a). \u201cBemerkungen \u00fcber die Beziehungen des De Sitterschen Koordinatensystem B zu der allgemeinen Welt konstanter positiver Kr\u00fcmmung\u201c. Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Section of Sciences. Proceedings 21(1918-1919): 614-615<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Klein F<\/strong>.(1918b). \u201c\u00dcber die Integralform der Erhaltungssatze und die Theorie der ra\u00fcmlichgeschlossenen Welt\u201c. K\u00f6nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G\u00f6ttingen. Nachrichten: 394-423<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Lancros C<\/strong>. (1922a).&nbsp;\u00abEin vereinfachendes Koordinatensystem f\u00fcr die Einsteinschen&nbsp; Gravitationsgleighlungen\u00bb. Physikalische Zeitschrift 23: 537-539<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Lancros C<\/strong>. (1922b).&nbsp;\u00abBemerkung zur De Sitterschen Welt\u00bb. Physikalische Zeitschrift 23: 539-543<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Lema\u00eetre G.<\/strong> (1925a) \u201cNote on De Sitter\u2019s Universe.\u201d Publication du Laboratoire d\u2019Astronomie et de G\u00e9os\u00e9sie de l\u2019Universit\u00e9 de Louvain 2&nbsp;:37-41. &amp; Journal of Mathematics and Physics 4&nbsp;: 188-192<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Lema\u00eetre G<\/strong>.(1925b).&nbsp;\u00bbNote on De Sitter\u2019s Universe&nbsp;\u00bb. Phys. Rev. 25&nbsp;:903<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Szekeres G.<\/strong> (1960). On the singularities of a Riemannien manifold. Publ. Mat. Debrecen&nbsp; 7, 285-301.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Weyl H.(<\/strong>1919)\u201d\u00dcber die statischen Kugelsymmetrischen L\u00f6sungen von Einsteins kosmologischen Gravitationgleichungen\u201d Physikalischer Zeitschrift 20: 31-34<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref1\" id=\"_ftn1\">[1]<\/a> Ce document reprend des \u00e9l\u00e9ments du livre \u00ab&nbsp;Spacetime and geometry de S. Carroll (Addison Wesley)&nbsp;\u00bb \u00e0 consulter pour plus de d\u00e9tails, et en d\u00e9veloppe certains \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref2\" id=\"_ftn2\">[2]<\/a> Pour ces sym\u00e9tries on utilise la version du tenseur de Riemann avec tous les indices bas qu\u2019on obtient en abaissant un indice sur la d\u00e9finition que nous avons donn\u00e9e dans les rappels par multiplication par le tenseur m\u00e9trique et contraction pour \u00e9liminer l\u2019indice haut. En fait, on montre ces propri\u00e9t\u00e9s sur sa valeur exprim\u00e9e en coordonn\u00e9es localement inertielles. Dans cette version, il est \u00e9vident qu\u2019il est antisym\u00e9trique sur ses 2 premiers et 2 derniers indices, invariant par \u00e9change de la premi\u00e8re paire avec la seconde la somme des permutations sur les 3 derniers indices est nulle, ceci fait que sur les 256 composantes il n\u2019y a, au maximum, que 1\/12 (n\u00b2(n\u00b2-1)) valeurs diff\u00e9rentes, soit 20 pour n = 4. Il peut y en avoir moins si des contraintes s\u2019appliquent (sym\u00e9tries).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref3\" id=\"_ftn3\">[3]<\/a> Adapt\u00e9 de Carroll S. M (2004). Spacetime and Geometry. Pearson-Addison Wesley. Maximally symmetric universes p139-141 &amp; p323-329.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref4\" id=\"_ftn4\">[4]<\/a>Nous ne traitons pas ici de l\u2019autre solution \u00e0 sym\u00e9trie maximum, celle \u00e0 courbure n\u00e9gative constante, l\u2019espace anti-Sitter. Notons que cet espace Anti De Sitter sert \u00ab&nbsp;d\u2019espace de fond&nbsp;\u00bb dans certaines cosmologies branaires.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref5\" id=\"_ftn5\">[5]<\/a> Il conviendrait de faire la diff\u00e9rence entre courbure intrins\u00e8que et courbure extrins\u00e8que. Le choix \u00e0 priori de l\u2019hypersurface \u00ab&nbsp;Hyperbolo\u00efde&nbsp;\u00bb imbriqu\u00e9 dans un espace Minkowskien 5D, s\u2019appuie sans doute sur la connaissance de la courbure d\u2019une telle hypersurface compatible avec ce qu\u2019on recherche.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref6\" id=\"_ftn6\">[6]<\/a> On ne le red\u00e9montre pas, mais c\u2019est la m\u00eame int\u00e9grale que pour la forme <strong>(2.1).<\/strong> Scalaire de Ricci = 12\/\u03b1\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref7\" id=\"_ftn7\">[7]<\/a> Remarque sur les notations&nbsp;: Par 2-sph\u00e8re nous entendons la surface (\u00e0 deux dimensions) d\u2019une sph\u00e8re classique, par une 3- sph\u00e8re il s\u2019agit d\u2019une hypersph\u00e8re 3D.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref8\" id=\"_ftn8\">[8]<\/a> On pose <strong>c =1<\/strong>,&nbsp; on adopte la signature (-+++), par mati\u00e8re c\u2019est au sens mati\u00e8re \u00e9nergie, dans le document.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref9\" id=\"_ftn9\">[9]<\/a> Forme originale donn\u00e9e par De Sitter: Cit\u00e9 dans Earman J. &amp; Eisenstaedt J. (1999) p 192. Scalaire Ricci =12\/R\u00b2<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref10\" id=\"_ftn10\">[10]<\/a> Ce point est expos\u00e9 en d\u00e9tail dans&nbsp;: Earman J. &amp; Eisenstaedt J. (1999)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref11\" id=\"_ftn11\">[11]<\/a> Cit\u00e9 dans Eisenstaedt (1993) p. 357<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref12\" id=\"_ftn12\">[12]<\/a> Weyl (1919) p. 31<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref13\" id=\"_ftn13\">[13]<\/a> Cit\u00e9e dans<strong> Szekeres (1960<\/strong>) p285, le scalaire de Ricci vaut 12\/R\u00b2, il est constant (Mathematica 4)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref14\" id=\"_ftn14\">[14]<\/a> De Sitter (1917b p.230) a \u00e9galement propos\u00e9 cette forme. Cit\u00e9 dans Eisenstaedt&nbsp; (1993) p.355<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref15\" id=\"_ftn15\">[15]<\/a> Lancros(1922a) et Lancros (1922b)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref16\" id=\"_ftn16\">[16]<\/a>,Cit\u00e9 dans&nbsp;: Eisenstaedt J. (1993) Lema\u00eetre and the Schwarzschild solution, The Attraction of Gravitation&nbsp;: New Studies in the History of General Relativity. J. Earman, M. Janssen, J.D. Norton editors p 358<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref17\" id=\"_ftn17\">[17]<\/a> Klein (1918a, 1918b)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref18\" id=\"_ftn18\">[18]<\/a> Bronstein I.N &amp; Semandiaev K.A (1982), donne l\u2019int\u00e9grale de <em>\u222b<\/em>dx\/cosh (ax) = (2\/a)arctg[exp(ax)], p 570<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref19\" id=\"_ftn19\">[19]<\/a> Lema\u00eetre (1925), \u00e9tablie ind\u00e9pendamment par Robertson (1928) cit\u00e9&nbsp;: Earman J. &amp; Eisenstaedt J.(1999) p202<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref20\" id=\"_ftn20\">[20]<\/a> Notons que Lema\u00eetre s\u2019attache \u00e0 l\u2019homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 spatiale (pas \u00e0 l\u2019homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 totale).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref21\" id=\"_ftn21\">[21]<\/a> Robertson a propos\u00e9 la transformation suivante : r\u2019=r.exp(-t\/R), t\u2019=t\u2013 (R\/2)ln(1-r\u00b2\/R\u00b2). Dans (5), r\u2019\u2192r, t\u2019\u2192t.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref22\" id=\"_ftn22\">[22]<\/a> On peut l\u2019obtenir comme solution du&nbsp;vide&nbsp;de l\u2019\u00e9quation de Friedman Lema\u00eetre (avec constante cosmologique)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref23\" id=\"_ftn23\">[23]<\/a> La transformation de Robertson montre qu\u2019on ne peut pas \u00e9tendre ind\u00e9finiment vers le pass\u00e9 les g\u00e9od\u00e9siques temporelles. Cit\u00e9 dans Earman J. &amp; Eisenstaedt J.(1999) p202<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref24\" id=\"_ftn24\">[24]<\/a> Il y a des hypoth\u00e8ses: \u00e9nergie du vide, quintessence, par exemple, mais aucune n\u2019a donn\u00e9 satisfaction aujourd\u2019hui, les tests cosmologiques semblent toutefois privil\u00e9gier l\u2019hypoth\u00e8se d\u2019une&nbsp;\u00abconstante cosmologique\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref25\" id=\"_ftn25\">[25]<\/a> Gourgoulhon.E Cours de Relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale IAP (2006) p.82-86<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref26\" id=\"_ftn26\">[26]<\/a> Le Rayonnement de Fond Cosmologique (RFC) dans la solution Friedman Lema\u00eetre Robertson Walker<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref27\" id=\"_ftn27\">[27]<\/a> On parle ici de particules de test virtuelles, dans le cas de particules mat\u00e9rielles \u00abr\u00e9elles&nbsp;\u00bb, c\u2019est plus complexe. Earman&nbsp; J. &amp; Eisenstaedt J. (1999) chap. 7 \u00ab&nbsp;The problem of motion&nbsp;\u00bb p 204-224<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref28\" id=\"_ftn28\">[28]<\/a> Dans certaines solutions dans le vide, les formes les plus utilis\u00e9es ne sont pas celles l\u00e0 (Schwarzschild, Kerr,..)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref29\" id=\"_ftn29\">[29]<\/a> A moins que la RG ne consid\u00e8re que des g\u00e9od\u00e9siques, les mouvements non g\u00e9od\u00e9siques, n\u2019en feraient pas partie. Par exemple pour une fus\u00e9e ce serait le centre de masse qui serait concern\u00e9 par la RG\u2026<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"#_ftnref30\" id=\"_ftn30\">[30]<\/a> Traduction des pages 326-328 de \u00ab&nbsp;Spacetime and geometry&nbsp;\u00bb de S. Carroll, \u00e9dition.Addison-Wesley. Se reporter \u00e0 l\u2019ouvrage en cas de doute.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">[31] Les figures 7-1 \u00e0 7-8 sont extraites du cours de relativit\u00e9 G\u00e9n\u00e9rale de Eric Gourgoulhon. <a href=\"https:\/\/luth.obspm.fr\/~luthier\/gourgoulhon\/fr\/master\/relatM2.pdf\">https:\/\/luth.obspm.fr\/~luthier\/gourgoulhon\/fr\/master\/relatM2.pdf<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Espaces \u00e0 sym\u00e9tries maximum[1] Chapitre 1&nbsp;: Probl\u00e8me \u00e0 r\u00e9soudre \u2013 g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les sym\u00e9tries des espaces Quel niveau de sym\u00e9tries pour un espace&nbsp;? Un espace \u00e0 n dimensions Rn de m\u00e9trique euclidienne est invariant par les translations et rotations autour de tout point P. 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