On appelle th\u00e9orie conforme des champs (CFT en anglais) les classes de th\u00e9ories qui sont invariantes par une transformation conforme.<\/p>\n\n\n\n
Une transformation conforme est une transformation g\u00e9om\u00e9trique qui conserve les angles et le rapport des entit\u00e9s (rapport de longueur par exemple) .<\/p>\n\n\n\n
Comme la mesure <\/strong>d\u2019une longueur (en m\u00e8tres par exemple) n\u2019est pas quelque chose d\u2019intrins\u00e8que,<\/strong> mais un rapport <\/strong>entre la longueur mesur\u00e9e et une longueur de r\u00e9f\u00e9rence (unit\u00e9 de longueur) qui est conventionnelle, ce qui est trivial, on pourrait penser que les th\u00e9ories conformes sont monnaie courante.<\/p>\n\n\n\n Ce n\u2019est pas le cas manifestement.<\/p>\n\n\n\n La relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale n\u2019est pas une th\u00e9orie conforme des champs, dans le cas g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n\n\n\n En relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale la m\u00e9trique est d\u00e9sign\u00e9e par le ds\u00b2 (en fait un tenseur bivalent) qu\u2019on repr\u00e9sente en g\u00e9om\u00e9trie analytique par une forme bilin\u00e9aire.<\/p>\n\n\n\n La contrainte CFT est alors que: f(x\u00b5<\/sup>)ds\u00b2 = ds\u00b2, (1)<\/p>\n\n\n\n o\u00f9 f(x\u00b5<\/sup>) est une fonction qui d\u00e9pend des coordonn\u00e9es x\u00b5<\/sup>, par exemple t, x, y, z.<\/p>\n\n\n\n Sous ce vocable on entend que ds\u00b2 = 0, ce qui correspond aux g\u00e9od\u00e9siques de type nul \u00e0 savoir celles suivies par les ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques (dont la lumi\u00e8re d\u2019o\u00f9 son nom). C\u2019est le cas o\u00f9 on ne consid\u00e8re que les g\u00e9od\u00e9siques nulles.<\/p>\n\n\n\n Dans ce cas la relation (1) est trivialement satisfaite, donc une th\u00e9orie relativiste qui se limiterait \u00e0 ce cas serait de type CFT.<\/p>\n\n\n\n Dans la solution de Schwarzschild par exemple on ne consid\u00e8re que l\u2019espace \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de la masse \u00ab centrale \u00bb \u00e0 sym\u00e9trie sph\u00e9rique.<\/p>\n\n\n\n Dans ce cas le tenseur de Riemann se r\u00e9duit au tenseur de Weyl qui est un tenseur invariant par une transformation conforme. Donc on doit penser que cette solution doit aussi satisfaire l\u2019\u00e9quation (1)<\/p>\n\n\n\n Comme cette solution contient de la mati\u00e8re, le tenseur de Riemann ne se r\u00e9duit pas au tenseur de Weyl et l\u2019\u00e9quation (1 ) n\u2019est pas satisfaite.<\/p>\n\n\n\n Autrement dit sans mati\u00e8re la relativit\u00e9 serait une th\u00e9orie CFT. Ceci permet d\u2019ouvrir une r\u00e9flexion \u00e9pist\u00e9mologique sur les propri\u00e9t\u00e9s structurelles et relationnelles de la mati\u00e8re comparativement aux autres fluides cosmiques.<\/p>\n\n\n\n Qu\u2019a la mati\u00e8re de si particulier qui brise le caract\u00e8re CFT. Est-ce un caract\u00e8re d\u2019une autre nature qu\u2019il faut traiter diff\u00e9remment?<\/p>\n\n\n\n Comme un terme de masse dans le lagrangien invalidait la pertinence des \u00e9quations de la th\u00e9orie des champs quantiques (boson massif de la th\u00e9orie \u00e9lectrofaible) , pour conserver la coh\u00e9sion de ces \u00e9quations on a \u00e9t\u00e9 amen\u00e9 \u00e0 imaginer un autre m\u00e9canisme pour interpr\u00e9ter la masse (boson de Higgs).<\/p>\n\n\n\n Pour conserver le caract\u00e8re CFT \u00e0 la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale , ce qui serait tr\u00e8s agr\u00e9able, ne doit-on pas faire quelque chose de similaire: utiliser, comme sugg\u00e9r\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, un m\u00e9canisme ind\u00e9pendant pour traiter le cas de la masse?<\/p>\n\n\n\n Cela peut para\u00eetre incongru, mais on l\u2019a bien fait pour la QFT!<\/p>\n\n\n\n On constate que dans les cas relativistes qui sont de type CFT la trace des tenseurs dans l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein est nulle.<\/p>\n\n\n\n Elle est nulle pour le tenseur \u00e9nergie impulsion de l\u2019\u00e9lectromagn\u00e9tisme et donc pour les autres tenseurs de l\u2019\u00e9quation, par coh\u00e9rence de l\u2019\u00e9quation.<\/p>\n\n\n\n Dans le tenseur de Weyl, on sait que c\u2019est le tenseur de Riemann, o\u00f9 on a enlev\u00e9 toutes les traces, et par coh\u00e9rence tous les autres tenseurs de l\u2019\u00e9quation ont cette propri\u00e9t\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Mais elle n\u2019est pas nulle pour la mati\u00e8re. Le m\u00e9canisme ind\u00e9pendant pour g\u00e9rer la masse pourrait agir \u00e0 ce niveau.<\/p>\n\n\n\n Cet espace-temps fait partie des solutions \u00e0 sym\u00e9trie maximale . Nous savons qu’il y a 3 types de solutions selon le signe de la courbure de l’espace-temps, caract\u00e9ris\u00e9e par le scalaire de Ricci. S’il est nul, c’est l’espace-temps de la relativit\u00e9 restreinte qu’on repr\u00e9sente souvent par la m\u00e9trique de Minkowski, s’il est positif c’est l’espace temps de De Sitter d\u00e9crit sur ce site:<\/p>\n\n\n\n S’il est n\u00e9gatif c’est l’espace-temps anti-de Sitter, voir fichier ci-dessous. Voir une synth\u00e8se De Sitter, anti-De Sitter<\/p>\n\n\n\nExemples en relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale<\/h2>\n\n\n\n
L\u2019espace-temps relativiste \u00ab optique \u00bb: CFT<\/h2>\n\n\n\n
L\u2019espace-temps relativiste vide: CFT<\/h2>\n\n\n\n
L\u2019espace-temps relativiste du mod\u00e8le cosmologique standard: pas CFT<\/h2>\n\n\n\n
C\u2019est la mati\u00e8re qui brise la conformit\u00e9 CFT.<\/h2>\n\n\n\n
Similitude structurelle avec la th\u00e9orie des champs quantiques (QFT)<\/h2>\n\n\n\n
Pour conserver le caract\u00e8re CFT, doit-on traiter la mati\u00e8re (avec sa masse) par un m\u00e9canisme similaire \u00e0 celui de la QFT en relativit\u00e9?<\/h2>\n\n\n\n
Dans le formalisme, cela se manifeste par la pr\u00e9sence d\u2019une trace non nulle dans les tenseurs<\/h2>\n\n\n\n
Espace-temps anti De Sitter<\/h2>\n\n\n\n