L’interprétation de l’équation d’Einstein est-elle rigoureuse et correcte? Une voie vers la quantification?9/09/22

Rappel sur la dynamique, en gravitation

Ce qui intéresse le scientifique ce sont les lois du mouvement des corps en interaction gravitationnelle mutuelle: la dynamique d’un système. En effet c’est toujours à l’action d’un phénomène qu’on s’intéresse.

La mécanique newtonienne

Newton qui situait ces corps dans un espace euclidien tridimensionnel « absolu » (qui sert donc de référence), attribuait à chaque corps une masse active ma, générant un « champ gravitationnel » s’étendant dans cet espace selon des lois qu’il précisait, une masse passive mp, caractérisant le couplage de la masse avec le champ généré par les autres masses (mais pas par la sienne: pas d’auto-couplage). Il attribuait aussi une masse inertielle mi, selon la célèbre loi f = mi.a, où a est l’accélération que subit le corps, mi, sa masse inertielle et f la « force » appliquée au corps.

Cette force f « invisible » s’exerçant à distance dans le vide, dérivait d’un potentiel scalaire (donc additif), ce qui permettait de calculer facilement le potentiel généré par des masses distantes en tout point. Connaissant, ce potentiel, la position d’un corps dans l’espace et sa quantité de mouvement (un vecteur) on pouvait calculer la trajectoire de ce corps qu’on appelle « géodésiques » (trajectoire du corps quand il ne n’est soumis qu’à la seule force gravitationnelle).

Le paramètre dynamique de cette trajectoire est le temps « absolu » newtonien, indépendant de toute chose.

Le principe d’équivalence stipulait que mp = mi, (expérience de Galilée à la tour de Pise) et le principe d’action réaction que ma = mp. Ceci faisait que les 3 types de masses étaient égales, avec un paramétrage convenable (en fait elles sont « proportionnelles »).

Cette force gravitationnelle à distance paraissait un peu mystérieuse, mais comme la théorie donnait de bons résultats, (on notait juste une petite anomalie pour l’avance du périhélie de Mercure qu’on pensait pour expliquer) seuls les esprits chagrins en étaient contrariés.

La relativité générale

Après la relativité restreinte en 1905, dès 1907, Einstein s’est intéressé à la gravitation, car il était convaincu que les principes qu’il avait utilisés devaient s’appliquer également à la gravitation.

Le problème était ardu et après des tentatives infructueuses utilisant le principe d’équivalence, il va s’intéresser à un autre type d’approche: une description géométrique permettant de définir la dynamique, à savoir les « géodésiques » suivies par les corps sous l’interaction mutuelle gravitationnelle.

Ces « géodésiques » ne seront plus des trajectoires, résultants de forces qui s’appliquent sur les corps en interaction dans un espace euclidien, qui ne sont pas des géodésiques, au sens géométrique, de l’espace euclidien, car les géodésiques de l’espace euclidien sont des droites);

Ce seront de vraies géodésiques d’une géométrie non-euclidienne.

Cela lui a pris 10 ans pour en arriver là, mais fin 1915 il va publier sa célèbre équation.

Gmn = k.Tmn.

Gmm est le tenseur d’Einstein , un objet géométrique dans un espace-temps à 4 dimensions (t,x,y,z), muni d’une métrique, définissant la courbure de la géométrie, k est une constante dimensionnée (liée à la force de Planck, voir pages de ce site) assurant l’homogénéité de l’équation et Tmn est un tenseur, le tenseur énergie-impulsion qui représente la « physique » (matière-énergie).

C’est cette équation qui va définir la structure de l’espace-temps résultant des propriétés d’une métrique (qui peut avoir des symétries) et la la matière-énergie qui la va contraindre.

Dans cette approche, toutes les masses et l’énergie contribuent à définir l’espace-temps auquel, en retour, toutes ces masses et toute cette énergie va se coupler et en décrire les géodésiques. Ceci inclut un auto-couplage implicite.

Ce sont donc les géodésiques de cet espace-temps (mathématiquement représenté par une « variété ») qu vont définir la dynamique du système.

En toute rigueur, doit-on considérer tout l’espace-temps ou seulement une catégorie de géodésiques?

Un problème se pose. Le modèle mathématique définit une un objet géométrique « une variété » qu’on peut considérer comme un ensemble de points sur lequel on peut définir n’importe quelle courbe. Mais la théorie, si on ne considère que la gravitation ne s’intéresse qu’aux géodésiques (et en plus une catégorie particulière).

Il parait donc naturel de ne considérer que la catégorie minimale de géodésiques, qu’on appellera géodésiques structurelles, qui définissent un sous ensemble des points de la variété, de façon structurée, car engendrées par ces géodésiques.

On sait les difficultés que présentent, par exemple la quantification. Mais en général les méthodes considèrent la variété globale, pas un sous ensemble beaucoup plus contraint ou on peut espérer que ce soit plus simple.

Il serait dont intéressant d’étudier ces possibilités avec un sous-ensemble aussi restreint que possible, car en toute rigueur, sous l’influence de la gravitation seule, ce qui est l’objet de l’équation d’Einstein, seules ces géodésiques et le sous-ensemble de points qu’elles définissent peuvent être utilisés.

Exemple de la solution de « Schwarzschild »

Ce cas est très simple car l’espace temps, ainsi défini, est vide: la seule masse au centre est une singularité. Comme E. Cartan l’avait déjà décrit, en 1922 [1], il existe deux classes (infinies) de géodésiques nulles, l’une radiale entrante, l’autre radiale sortante.

Ajoutons que pour réduire au maximum le sous ensemble on peut ne considérer que les géodésiques d’une fréquence donnée à l’infini, car pour des fréquences différentes, le paramètre affine (l’impulsion dans le cas des géodésiques nulles) induit des géodésiques différentes.

Ces classes définissent la structure causale de l’espace-temps et engendrent une partie des points de la variété à 4 dimensions (t, x, y, z) de manière structurée.

C’est ce que donne la solution de l’équation d’Einstein.

L’idée, c’est que ce sous ensemble restreint soit un sous ensemble minimum qui cependant capture (possède et permet de définir) toutes les propriétés de la solution à l’équation d’Einstein.

Faut-il aussi ajouter les géodésiques radiales entrantes et sortantes de type temps (double infinité), sans boost, qui génèrent d’autres points de manière structurée de l’espace-temps , bien décrites dans la solution de Painlevé (1921) ?

En toute rigueur, s’il n’y a pas de matière, on peut se demander si c’est nécessaire. Si on n’étudie que les géodésiques nulles, ce n’est pas nécessaire, sinon il faudra faire cette extension.

On peut se demander s’il existe des géodésiques de type espace structurelles, sachant que ce type de géodésiques ne sont pas considérées dans notre monde physique.

Les classes sélectionnées définissent l’espace temps restreint généré par un corps unique, à symétrie sphérique. On peut utiliser ce sous-ensemble, qui bien que multiplement infini, est bien plus restreint que celui qui serait généré par l’ensemble des points avec l’ensemble des courbes possibles.

L’espoir est qu’il se prêterait mieux à des opérations de quantification et autres opérations mathématiques.

Notons que la quantification opère une restriction par une contrainte, opération similaire à celle que nous proposons, par une contrainte également.

Toutes les autres solutions (géodésiques circulaires, non circulaires, quelconques et les lignes d’univers non géodésiques ) ne sont pas des solutions « natives » de l’équation d’Einstein, car elles nécessitent des éléments étrangers à la gravitation.

Quantification de l’équation géodésique

Puisque, comme nous l’avons soutenu, la solution de l’équation d’Einstein peut se limiter à l’équation géodésique, le problème se ramène à quantifier l’équation géodésique, ce qui plus restrictif que de quantifier l’espace-temps de manière générale. Voir la solution de Painlevé, par exemple:

voir : https://astromontgeron.fr/Painleve-article-english.pdf

pour plus de détails.

Exemple du modèle standard de la cosmologie.

Dans ce cas l’univers n’est pas vide, puisque le tenseur matière énergie n’est pas nul. En plus des géodésiques nulles il faudra considérer les géodésiques de la matière « co-mobile » de l’expansion.

Toutes les autres lignes d’univers, géodésiques ou non ne relèvent pas nativement de la solution donnée par l’équation d’Einstein.

Là encore, un sous ensemble réduit génère tous les points nativement possibles de la variété. Le même type de remarques que précédemment s’applique.

Quid des géodésiques non structurelles et les lignes d’univers non géodésiques?

On peut, bien entendu, aussi traiter des géodésiques non structurelles et des lignes d’univers non géodésiques, mais il faut bien comprendre que cela va se faire, en général [2], par un couplage « perturbatif » (sans influence sur l’espace-temps) entre des phénomènes, de nature non gravitationnelle, par exemple des boosts, dans un espace local en un point de la variété avec l’espace-temps (représenté par la variété) défini par l’équation d’Einstein, d’où la structure de fibré, dont l’espace-temps est la base et l’espace local, la fibre.

Ceci va rendre possible des courbes passant par d’autres points (t, x, y, z) de la variété à quatre dimensions (une extension).

En général on assimile tout cela à la relativité générale, mais ce n’est pas rigoureux, et à ce titre peut être la source de confusion voire d’erreurs.

Une réflexion complémentaire serait utile.

[1] Petrov et Pironi, retrouveront et complèteront la contribution de E. Cartan, bien plus tard.

[2] Dans l’espace temps de Kerr-Newmann, l’espace-temps global est défini par le couplage de 2 équations, celle d’Einstein et celles de Maxwell, ceci échappe au cas général puisque cette contrainte est globale.