Création (big Bang) ou dissociation du néant en cosmologie ?

Introduction

Si la création « ex nihilo » de quelque chose chagrine notre esprit car elle viole certains principe de conservation (quelque chose émerge de rien), la notion de dissociation du néant, où le néant accouche de deux entités physiques symétriques (aussi appelées contraires) telles que, pour tous leurs paramètres, leurs valeurs prises en compte pour l’ensemble (la somme) des deux entités scientifiques symétriques sont les mêmes que celles du néant, est plus agréable à notre esprit car elle ne viole pas, du moins macroscopiquement, ces principes de conservation, d’autant qu’on peut les recombiner pour restaurer le néant initial.[1]

Un exemple est la dissociation du vide en une paire particule-antiparticule, en vertu de la relation d’indétermination d’Heisenberg. Cette paire peut ensuite s’annihiler en redonnant l’état de départ du vide (si elle n’a pas interagi avec d’autres).

Un exemple plus proche de la cosmologie est donné par la solution de Schwarzschild [2], en relativité, pour un espace à symétrie sphérique. Pour un corps central satisfaisant à certaines conditions[3], un horizon se forme déterminant 2 régions de phénoménologies différentes. La région extérieure est celle générée par exemple par le Soleil, à l’extérieur, que nous connaissons, dans notre système solaire, la partie intérieure est un espace-temps en effondrement où aucun corps ne peut être statique. Bien que dès 1921, la solution de Painlevé [4] le montrait implicitement, il a fallu attendre une solution comme celle de Kruskal[5], en 1960, qui montrait, en plus, une connexion de type espace entre les régions symétriques intérieures à « l’horizon », pour en prendre vraiment conscience et pour réaliser que ces deux régions avaient leurs symétriques où la phénoménologie est inversée (espace-temps en expansion au lieu qu’en contraction). Si on considère les 4 régions, globalement, les paramètres, par exemple l’énergie de la masse centrale, calculée en relativité générale est nulle. Conventionnellement, elle vaut + M pour la partie en contraction (2 régions) et – M pour la partie symétrique en expansion (2 régions).

On peut s’étonner de la possibilité d’une masse gravitationnelle active négative, mais celle-ci résulte de l’intégrale d’un flux du vecteur associé à l’énergie en relativité générale, dont le signe dépend de l’orientation.

Reste un point important qui est celui de la réalité physique de cette solution mathématique symétrique. De nombreuses restrictions existent [6], et cela ne semble possible, et encore de manière très spéculative, que dans l’univers primordial. Mais les équations le permettent et nous vu qu’assez souvent les équations finissaient par avoir raison !

Ce type de paradigme est-il applicable à la cosmologie ?

Une symétrie ( entre temps et espace qui échangent leur rôle dans la phénoménologie) entre la solution de Schwarzschild et celle de Friedmann-Lemaître pour la cosmologie est assez évidente puisque, si le modèle standard cosmologique (Big Bang) présente un univers en expansion, les équations symétriques montrent que mathématiquement, un univers symétrique (en contraction) existe.

 La singularité « initiale » de la solution en expansion (le Big bang) est une singularité de type espace (l’espace « disparaît »), à la différence de celle de Schwarzschild qui est de type temps. Dans le Big Bang, les géodésiques de type espace sont incomplètes mais pas celles de type temps.

Donc, si une solution au problème cosmologique donne des espace-temps symétriques, ils peuvent être connectés par une ligne de type temps (dans un espace de taille nulle).

Dès 1932, G. Lemaître, dans son analyse magistrale avait présenté le modèle cosmologique et la solution de Schwarzschild, (dont il expliquait le caractère fictif de la singularité sur l’horizon), comme deux cas particuliers d’un même modèle. Il montrait dans son article “L’univers en expansion”que des solutions mathématiques symétriques, étaient également valables pour le problème cosmologique [7].

Pour montrer comment Lemaître aborde le problème nous donnons, ci-dessous, l’extrait de son article « L’univers en expansion » de 1932, adapté et commenté, où il établit l’équation géodésique cosmologique avec constante cosmologique (les références des équations sont celles du document dont cette partie est extraite).

L’équation géodésique cosmologique de Lemaître traduit la dynamique de l’espace

En posant[8]                                               

L’équation géodésique s’écrit :                                                   

Lemaître propose la solution[9] :

qui est l’équation (14-10)[10] .

Comme la figure 14-1 ci-dessous le visualise, cette équation décrit une région en expansion et une région en contraction.

Accessoirement, notons au passage que pour sa version cosmologique correspondant à un espace vide (la solution dite de Schwarzschild), Lemaître avait, comme Painlevé en 1921, trouvé une solution qui définissait par un jeu de 2 équations, les 4 régions du “trou noir statique à symétrie sphérique” [11], environ 30 ans avant Kruskal, mais ceci n’a pas retenu son attention, de même que, comme il traitait le cas d’un univers en expansion, c’est évidemment “l’anti-univers” qu’il définit, ce que ses équations montrent clairement, sans qu’il fasse le moindre commentaire à ce sujet!

Lemaître réintroduit un caractère d’homogénéité dans sa solution au problème

Dans les hypothèses de base nous avions les coordonnées indépendantes t, χ et une fonction r(t, χ), soit trois possibilités de coordonnées (t, χ, r)  pour deux degrés de liberté, ce qui permet en en éliminant une de décliner plusieurs formes.

Rappelons que l’équation (14-9) n’implique que la dérivée partielle de r par rapport à t et que la masse centrale, m ne dépend pas de χ.

La coordonnée χ réapparaît cependant dans (14-10) mais, non pas comme une coordonnée indépendante de t puisque c’est (t – χ) qui intervient dans les équations et dans la métrique mais comme une constante d’intégration, associée à un observateur de Lemaître-Painlevé, co-mobile de la dynamique de l’espace, fixée par des conditions initiales pour t = 0 [12].

Elle permet d’étiqueter, sur la géodésique radiale, les différents observateurs de Lemaître.

Rappelons que, comme dans la solution de Friedmann, l’espace est homogène, pour décrire la phénoménologie il n’est pas nécessaire de repérer l’observateur.

L’origine (arbitraire) des coordonnées dans cette forme c’est là où l’observateur se trouve puisque tous sont équivalents.

Pour le problème du corps unique sphérique, c’est la situation duale : l’isotropie n’est valide que par rapport à un point particulier qu’on choisira comme origine et l’espace n’étant pas homogène les phénoménologies sont différentes pour des observateurs co-mobiles de l’espace en ses différents points à un instant donné. On peut étiqueter ces points par la coordonnée χ, qui,non contrainte par l’équivalence de masse avec la solution de Friedmann, est libre.

Ces observateurs co-mobiles définissent une classe dont chaque élément décrit toute la phénoménologie de cet espace-temps au cours du temps.

 Le choix de l’observateur de cette classe est libre (arbitraire) comme dans la solution de Friedmann et du coup Lemaître réintroduit par son analyse une forme d’homogénéité qui se manifeste dans l’équation non pas par rapport à une coordonnée unique mais par rapport à la différence entre deux coordonnées.

Cette homogénéité, est invariante par translation simultanée de χ et t si (ct – χ) = constante.

Ceci correspond en fait à une translation spatio-temporelle à r = constante, mais il est significatif que cette forme représente sous forme d’homogénéité spatio-temporelle une symétrie sphérique spatiale.

Dans l’équation (14-10), la coordonnée spatiale χ de la forme de Lemaître, est un paramètre affin donnant la valeur origine du paramètre affin t. En différenciant (14-10) on voit qu’ils sont liés par la relation que nous utiliserons plus loin :

Cette relation sur t, χ , r(t, χ) contraint les degrés de liberté de la solution géodésique.

Étudions la variation de r(t- χ) lorsque t augmente.

Prenons, par exemple, la courbe correspondant à l’équation (14-10) pour λ = 4/3  ( bleu clair).

Lorsque t varie de -∞ à t = χ, on voit que r (t-χ) diminue jusqu’à atteindre la valeur 0.

Ceci correspond à une contraction de l’univers au sens cosmologique.

Pour, t > χ l’univers est en expansion, l’observateur de Lemaître est expulsé.

Comme r = 0 est une singularité de type espace, on ne peut pas passer continûment de la région spatiale tri-dimensionnelle de contraction à la région spatiale tri-dimensionnelle d’expansion : ce sont donc des régions spatiales infinies disjointes. Mais comme t n’est pas singulier, ces régions sont connectées par le temps (de dimension 1), même si la taille de l’espace est nulle.

Nous voyons que les équations de Lemaître décrivent bien la solution analytique complète et que, déjà Lemaître avait prédit, la symétrie univers-anti-univers et la connexion temporelle entre les 2 espaces.

Des problèmes demeurent

Si cette dissociation, qui permet aussi d’envisager une solution pour des dissymétries de l’univers en supposant le pendant de ces dissymétries dans l’anti-univers, est plus agréable à notre esprit qu’une création, par contre il reste à expliquer d’où proviennent les 4 interactions de notre univers qui jouent un rôle d’ADN pour régir son destin.

 Soit on invoque des propriétés aléatoires du néant et on invoque l’argument anthropique pour justifier ces propriétés par le fait que ce sont elles qui ont permis notre existence, soit le néant est lui-même structuré par ces 4 interactions, et alors il n’est pas dépourvu de tout, ce qui reporte le problème sur un autre ! 

En fait il semble que la seule solution qui élude ce report du problème à l’infini, est une boucle spatio-temporelle car elle est fermée. Mais cela, également n’est pas sans poser de problème !


[1] Cette notion est très répandue dans les diverses sociétés, ainsi le bien et le mal, Dieu et le Diable, le ying et le yang, etc.  Souvent, on sous-entend que l’un n’existerait pas sans son contraire. Que serait le bien sans le mal ?

[2] Cette solution est en fait due à Droste, qui a généralisé (à 2 régions, la solution qu’avait proposé Schwarzschild auparavant en (1916) qui ne décrivait qu’une région. On a gardé le nom du premier auteur.

[3]  La masse M du corps central à symétrie sphérique doit être contenue dans un corps de rayon r < 2GM/c².

[4] Painlevé, 1921, Compte rendu de l’académie des sciences du 24/10/1921.

[5] [Kruskal 1960] (en) M. D. Kruskal, « Maximal extension of Schwarzschild metric , Phys. Rev., vol. 119, no 5,‎ sept. 1960, p. 1743-1745). Ces coordonnées montrent que les régions sont connectées par un pont de type espace, ce qui est possible car la singularité qui « sépare » les régions connexes est de type temps. La géodésique radiale, de type temps, entrante (chute libre sans vitesse non radiale) est incomplète : Elle n’est pas définie en r = 0. L’espace n’est pas singulier pour r = 0.

[6] La formation d’un trou noir par effondrement gravitationnel d’une supernova, ne permet pas l’existence d’un univers symétrique, les conditions initiales étant dissymétriques.

[7] Lemaître G. 1932, « L’univers en expansion » Publication du laboratoire de Géodésie, Université de Louvain. Repris in extenso en 1933 dans d’autres publications. La solution de Schwarzschild est considérée comme un modèle cosmologique d’un espace vide. ». Il utilise d’autres coordonnées dans son analyse donnée dans l’univers en expansion.

[8]Le paramètre λ est la constante cosmologique, le rayon de courbure R vaut (3/λ.)1/2, donc λr² = r²/R².

[9]L’équation (14-9), donnée au chapitre 11 de son article, correspondant au cas simple où la courbure spatiale est nulle et d’un univers vide, donné à titre d’exemple, a pour solutions r = ± 2r0Sh2/3 [3A(t -χ t)/2]. Lemaître ne considère pas le cas où r < 0, d’ailleurs ceci n’ajouterait rien à la phénoménologie. Notons que la fonction est paire: r(t –χ) = r (χ-t), ce qui justifie les 2 régions, t pouvant varier de moins l’infini à plus l’infini.

[10]Compte tenu que r(t –χ) = r (χ-t), on peut tout aussi bien écrire: r = 2r0Sh2/3 [3A(χ – t)/2]  (11.4bis).

[11]Ce que Synge, en mathématicien, avait remarqué, sans y prêter plus attention ! Synge JL. (1950).

[12] La coordonnée radiale χ qui caractérisait le volume contenant la masse m, dans la solution de Friedmann, ne sert plus puisque cette masse ne dépend plus du volume, mais va servir d’étiquette temporelle aux observateurs en chute libre radiale en repérant par exemple la date de passage relative t0 par un point remarquable de la géodésique (la singularité s’impose puisque cette géodésique est incomplète). En posant χ = t0 (choix unité) on remplace t – t0 par t – χ. L’équation géodésique est fonction de |t-χ|. Elle est invariante par translation à 45° (r = constante) dans le plan t, χ. Lemaître n’a pas explicité les implications de cet affaiblissement de degrés de liberté.

[13]En utilisant le logiciel Maxima. Remarquons la discontinuité de la dérivée de r( t -χ) pour t =χ, (r = 0).